Bài 1 trang 43 SGK Giải tích 12

Giải bài 1 trang 43 SGK Giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

Đề bài

 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a) (y{ m{ }} = { m{ }}2{ m{ }} + { m{ }}3x{ m{ }}-{ m{ }}{x^3}) ;             b) (y{ m{ }} = { m{ }}{x^3} + { m{ }}4{x^2} + { m{ }}4x);

c) (y{ m{ }} = { m{ }}{x^3} + { m{ }}{x^2} + { m{ }}9x) ;            d) (y{ m{ }} = { m{ }}-2{x^3} + { m{ }}5) ;

Lời giải chi tiết

a) (y=2+3x-{{x}^{3}}.)

1) TXĐ: (D=R.)

2) Sự biến thiên:

+) Chiều biến thiên:

Ta có: (y'=3-3{{x}^{2}}Rightarrow y'=0Leftrightarrow 3-3{{x}^{2}}=0Leftrightarrow left[ egin{align}& x=1 & x=-1 end{align} ight..)

Trên khoảng (left( -1; 1 ight), y'>0) nên hàm số số đồng biến, trên khoảng (left( -infty ;-1 ight)) và (left( 1;+infty  ight)) có (y'<0) nên hàm số nghịch biến.

+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại (x=1; {{y}_{CD}}=yleft( 1 ight)=4.) Hàm số đạt cực tiểu tại (x=-1; {{y}_{CT}}=yleft( -1 ight)=0.)

+) Giới hạn vô cực: (underset{x o -infty }{mathop{lim }},y=+infty ; underset{x o +infty }{mathop{lim }},y=-infty .)

+) Bảng biến thiên:

 

+) Đồ thị:

Ta có: (2+3x-{{x}^{3}}=0Leftrightarrow left[ egin{align} & x=2 & x=-1 end{align} ight..)

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 2 điểm (left( 2; 0 ight)) và (left( -1; 0 ight).)

Ta có: (y'=6x); (y'=0 ⇔ x=0). Với (x=0) ta có (y=2). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (I(0;2)) làm tâm đối xứng.

Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ (x=-2) suy ra (y=4).

Câu b:

Xét hàm số (y{ m{ }} = { m{ }}{x^3} + { m{ }}4{x^2} + { m{ }}4x)

Tập xác định: (D=mathbb{R}.)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: (y' = 3x^2+ 8x + 4).

(Rightarrow y' = 0 Leftrightarrow left[ egin{array}{l} x = - 2 x = - frac{2}{3} end{array} ight.)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (left( { - infty ; - 2} ight)) và (left( { - frac{2}{3}; + infty } ight)) và nghịch biến trên (left( { - 2; - frac{2}{3}} ight).)

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại (x=-2), giá trị cực đại (y)_cđ = (y(-2) = 0).

Hàm số đạt cực tiểu tại (x=-frac{2}{3}), giá trị cực tiểu (y_{ct}=yleft ( -frac{2}{3} ight )=-frac{32}{27}.)

Giới hạn: (mathop {lim }limits_{x o - infty } y = - infty ;,,mathop {lim }limits_{x o + infty } y = + infty).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số cắt trục (Oy) tại điểm ((0;0)), cắt trục (Ox) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: ({x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0) hoặc (x=-2) nên tọa độ các giao điểm là ((0;0)) và ((-2;0)).

Đồ thị hàm số:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: (y'=6x+8;)(Rightarrow y'=0Leftrightarrow x=-frac{4}{3}Rightarrow y=-frac{16}{27}.) 

Câu c:

Xét hàm số (small y = x^3 + x^2+ 9x)

Tập xác định: (D=mathbb{R}.)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: (y' = 3x^2+ 2x + 9=2x^2+(x^2+2x+1)+8=2x^2+(x+1)^2+8 > 0, ∀x.)

Vậy hàm số luôn đồng biến trên (mathbb{R}) và không có cực trị.

Giới hạn: (mathop {lim }limits_{x o - infty } y = - infty ;,,mathop {lim }limits_{x o + infty } y = + infty).

Bảng biến thiên :

Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục (Ox) tại điểm ((0;0)), cắt trục (Oy) tại điểm ((0;0)).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình (y'=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔) (x=-frac{1}{3}.) Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: (Ileft ( -frac{1}{3};-frac{79}{27} ight ).)

Lúc này ta vẫn chưa có đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm có hoành độ cách đều hoành độ (x_1) và (x_2) sao cho (left| {{x_1} - left( { - frac{1}{3}} ight)} ight| = left| {{x_2} - left( { - frac{1}{3}} ight)} ight|), khi đó hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua điểm uốn. Ta chọn các điểm ((-1;-9)) và (left ( frac{1}{2};frac{39}{8} ight ).)

Câu d:

Xét hàm số (y=-2x^3+5)

Tập xác định: (D=mathbb{R}.)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: (y' = -6x^2≤ 0, ∀x).

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên (mathbb R).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: (mathop {lim }limits_{x o - infty } y = + infty ;,,mathop {lim }limits_{x o + infty } y = - infty)

Bảng biến thiên:

 Đồ thị:

Tính đối xứng: (y'=-12x; y'=0 ⇔ x=0). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn (I(0;5)) làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục (Oy) tại điểm ((0;5)), đồ thị cắt trục (Ox) tại điểm (left( {sqrt[3]{{frac{5}{2}}};0} ight).) 

 soanbailop6.com