Bài 5 trang 44 SGK Giải tích 12
Giải bài 5 trang 44 SGK Giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ...
Giải bài 5 trang 44 SGK Giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
Đề bài
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ((C)) của hàm số
(y = -x^3+ 3x + 1).
b) Dựa vào đồ thị ((C)), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số (m).
(x^3- 3x + m = 0).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3.
b) Dựa vào đồ thị hàm số câu a để biện luận số nghiệm của phương trình.
+) Số nghiệm của phương trình (fleft( x ight)=a) là số giao điểm của đồ thị hàm số (y=fleft( x ight)) với đường thẳng (y=a.)
+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số (y = -x^3+ 3x + 1).
Tập xác định : (mathbb R).
* Sự biến thiên:
Ta có: (y' = -3x^2+ 3 = -3(x^2-1));
(Rightarrow y' = 0 Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 Leftrightarrow left[ egin{array}{l}x = 1x = - 1end{array} ight.).
- Hàm số đồng biến trên khoảng ((-1;1)), nghịch biến trên khoảng ((-infty;-1)) và ((1;+infty)).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại (x=1); (y_{CĐ}=3)
Hàm số đạt cực tiểu tại (x=-1); (y_{CT}=-1)
- Giới hạn:
(eqalign{
& mathop {lim y}limits_{x o - infty } = + infty cr
& mathop {lim y}limits_{x o + infty } = - infty cr} )
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị giao (Oy) tại điểm (I(0;1)) và nhận (I) làm tâm đối xứng.
b) (x^3- 3x + m = 0) (⇔ -x^3+ 3x + 1 = m + 1) (1). Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) : (y = m + 1).
Từ đồ thị ta thấy :
+) (m + 1 < -1 ⇔ m < -2 ): (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
+) (m + 1 = -1 ⇔ m = -2) : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
+) (-1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2) : (d) cắt (C) tại 3 điểm, (1) có 3 nghiệm.
+) ( m + 1 = 3 ⇔ m = 2) : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
+) (m + 1 > 3 ⇔ m > 2) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
soanbailop6.com
