Bài 2 trang 30 SGK Giải tích 12
Giải bài 2 trang 30 SGK Giải tích 12. Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: ...
Giải bài 2 trang 30 SGK Giải tích 12. Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
Đề bài
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
a) (y=frac{2-x}{9-x^2}) b) (y=frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2})
c) (y=frac{x^2-3x+2}{x+1}) d) (y=frac{sqrt {x}+1}{sqrt {x}-1})
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa đường tiệm cận của hàm số: Cho hàm số (y = fleft( x ight)) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng có dạng (left( {a; + infty } ight),,,left( { - infty ;b} ight)) hoặc (left( { - infty ; + infty } ight))).
- Đường thẳng (y=y_0) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = fleft( x ight)) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: (mathop {lim }limits_{x o + infty } fleft( x ight) = {y_0};,,mathop {lim }limits_{x o - infty } fleft( x ight) = {y_0}).
- Đường thẳng (x=x_0) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (y = fleft( x ight)) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
(egin{array}{l}mathop {lim }limits_{x o x_0^ + } fleft( x ight) = + infty ;,,mathop {lim }limits_{x o x_0^ - } fleft( x ight) = - infty mathop {lim }limits_{x o x_0^ + } fleft( x ight) = - infty ;,,mathop {lim }limits_{x o x_0^ - } fleft( x ight) = + infty end{array})
Lời giải chi tiết
a) TXĐ: (D = Rackslash left{ { pm 3} ight})
(mathop {lim }limits_{x ightarrow (-3)^-}frac{2-x}{9-x^2}=-infty); (mathop {lim }limits_{x ightarrow (-3)^+}frac{2-x}{9-x^2}=+infty) nên đường thẳng (x=-3) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
(mathop {lim }limits_{x ightarrow 3^-}frac{2-x}{9-x^2}=-infty); (mathop {lim }limits_{x ightarrow 3^+}frac{2-x}{9-x^2}=+infty) nên đường thẳng (x=3) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
(mathop {lim }limits_{x ightarrow +infty }frac{2-x}{9-x^2}=0); (mathop {lim }limits_{x ightarrow -infty }frac{2-x}{9-x^2}=0) nên đường thẳng: (y = 0) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b) TXĐ: (D = Rackslash left{ { - 1;frac{3}{5}} ight})
(egin{array}{l} mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ + }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + infty ;,,mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ - }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - infty mathop {lim }limits_{x o {{left( {frac{3}{5}} ight)}^ + }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - infty ;,,mathop {lim }limits_{x o {{left( {frac{3}{5}} ight)}^ - }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + infty end{array})
Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: (x=-1;x=frac{3}{5}).
Vì: (mathop {lim }limits_{x o - infty } frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - frac{1}{5};,,mathop {lim }limits_{x o + infty } frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - frac{1}{5})
Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng (y=-frac{1}{5}).
c) TXĐ: (D = Rackslash left{ { - 1} ight})
(mathop {lim }limits_{x o {{( - 1)}^ - }} frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = - infty ;,mathop {lim }limits_{x o {{( - 1)}^ +}} frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = + infty) nên đường thẳng (x=-1) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
(underset{x ightarrow -infty }{lim}frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=underset{x ightarrow -infty }{lim}frac{x^2(1-frac{3}{x}+frac{2}{x^{2}})}{x(1+frac{1}{x})}=-infty) và (underset{x ightarrow +infty }{lim}frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=+infty) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
d)
Hàm số xác định khi: (left{egin{matrix} xgeq 0 sqrt{x}-1 eq 0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} xgeq 0 x eq 1 end{matrix} ight.)
( Rightarrow D = left[ {0; + infty } ight)ackslash left{ 1 ight})
Vì (mathop {lim }limits_{x ightarrow 1^-}frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1}=-infty)( hoặc (mathop {lim }limits_{x ightarrow 1^+}frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1}=+infty) ) nên đường thẳng (x = 1) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vì (mathop {lim }limits_{x ightarrow +infty }frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1}=mathop {lim }limits_{x ightarrow +infty }frac{sqrt{x}(1+frac{1}{sqrt{x}})}{sqrt{x}(1-frac{1}{sqrt{x}})}=1) nên đường thẳng (y = 1) là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Chú ý: Có thể sử dụng MTCT để tính toán các giới hạn.
soanbailop6.com
