Bài 1 trang 223 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Có hay không một khối đa diện gồm một số lẻ mặt mà mỗi mặt có một số lẻ cạnh ?

Có hay không một khối đa diện gồm một số lẻ mặt mà mỗi mặt có một số lẻ cạnh ?

Giải

Giả sử tồn tại một khối đa diện H gồm k mặt và c cạnh thoả mãn yêu cầu của bài toán. Gọi c₁ là số cạnh của mặt thứ nhất, c₂ là số cạnh của mặt thứ hai, ..., c_k là số cạnh của mặt thứ k. Theo giả thiết thì k, c₁ ,c₂,..,c_k là những số lẻ. Vì mỗi cạnh thuộc đúng hai mặt nên ta có :

                               ({c_1} + {c_2} + ... + {c_k} = 2c.)

Điều này là vô lí vì vế trái của đẳng thức trên là một số lẻ, còn vế phải là một số chẵn. Vậy không có khối đa diện nào thoả mãn yêu cầu của bài toán.

Sachbaitap.com