Lý thuyết về giới hạn của hàm số: Bài 2. Giới hạn của hàm số....

Lý thuyết về giới hạn của hàm số.

Tóm tắt lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn

+) Cho khoảng (K) chứa điểm (x_0) và hàm số (y = f(x)) xác định trên (K) hoặc trên (Kackslash { m{{ }}{x_0}{ m{} }}). 

(underset{x ightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = L) khi và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈ Kackslash { m{{ }}{x_0}{ m{} }}) và (x_n ightarrow x_0)_, ta có
(lim f(x_n) =L). 

+) Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng ((x_0; b)).

(underset{x ightarrow x_{_{0}}^{+}}{lim} f(x) = L) khi và chỉ khi dãy số ((x_n) bất kì, (x_0<x_n< b) và (x_n ightarrow x_0) ,ta có (lim f(x_n) = L).

+) Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng ((a; x_0)).

(underset{x ightarrow x_{_{0}}^{-}}{lim} f(x) = L) khi và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (a <x_n< x_0) và (x_n ightarrow x_0), ta có
(lim f(x_n) = L).

+) Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng ((a; +∞)).

(underset{x ightarrow+infty }{lim} f(x) = L) khi và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n> a), (x_n ightarrow +infty) thì (lim f(x_n) = L).

+) Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng ((-∞; a)).

(underset{x ightarrow-infty }{lim} f(x) = L) khi và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n< a), (x_n ightarrow -infty) thì (lim f(x_n) = L).

2. Giới hạn vô cực

Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau:

+) Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng ((a; +∞)), (underset{x ightarrow+infty }{lim} f(x) = -∞) khi và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n> a), (x_n ightarrow +infty) thì ta có (lim f(x_n) = -∞)

+) Cho khoảng (K) chứa điểm (x_0) và hàm số (y = f(x)) xác định trên (K) hoặc trên (Kackslash { m{{ }}{x_0}{ m{} }}). 

(underset{x ightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = +∞) và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈Kackslash { m{{ }}{x_0}{ m{} }}) và (x_n ightarrow x_0) thì ta có 

(lim f(x_n) = +∞).

Nhận xét: (f(x)) có giới hạn (+∞ ) khi và chỉ khi (-f(x)) có giới hạn (-∞).

3. Các giới hạn đặc biệt

a) (underset{x ightarrow x_{_{0}}}{lim} x = x_0);

b) (underset{x ightarrow x_{_{0}}}{lim}c = c);

c) (underset{x ightarrow pm infty }{lim} c = c);

d) (underset{x ightarrow pm infty }{lim}) (frac{c}{x} = 0) ((c) là hằng số);

e) (underset{x ightarrow+infty }{lim} x^k= +∞), với (k) nguyên dương;

f) (underset{x ightarrow-infty }{lim} x^k= -∞), nếu (k) là số lẻ;

g)  (underset{x ightarrow-infty }{lim}x^k = +∞) , nếu (k) là số chẵn.

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1. 

a) Nếu (underset{x ightarrow x_{_{0}}}{lim} = L) và (underset{x ightarrow x_{_{0}}}{lim}) (g(x) = M) thì:

(underset{x ightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) + g(x)] = L + M);

(underset{x ightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) – g(x) = L – M);

(underset{x ightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) . g(x)] = L.M);

(underset{x ightarrow x_{_{0}}}{lim}) (frac{f(x)}{g(x)})= (frac{L}{M}) (nếu (M ≠ 0)).

b) Nếu (f(x) ≥ 0) và (underset{x ightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = L), thì (L ≥ 0) và (underset{x ightarrow x_{_{0}}}{lim}sqrt {f(x)} = sqrt L)

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi (x_n ightarrow +infty) hoặc (x_n ightarrow -infty).

Định lí 2.

(underset{x ightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = L) khi và chỉ khi (underset{x ightarrow x_{_{0}}^{+}}{lim}) f(x) = (underset{x ightarrow x_{_{0}}^{-}}{lim} f(x) = L).

5. Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích (f(x).g(x))

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương (frac{f(x)}{g(x)})

(Dấu của (g(x)) xét trên một khoảng (K) nào đó đang tính giới hạn, với (x ≠ x_0) ).