Bài 8 trang 120 Hình học 11: Bài 5. Khoảng cách...

Bài 8. Cho tứ diện đều (ABCD) cạnh (a). Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện. 

Giải

(H.3.69) 

Gọi (M, N) lần lượt là trung điểm của (AD) và (BC),

(Delta BAC = Delta BDC(c.c.c)) ( Rightarrow AN = DN) (hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

Tam giác (AND) cân tại (N), nên (MN) vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường cao do đó (MNot AD)  (1)

Chứng minh tương tự ta được: (MNot BC)          (2)

Từ (1) và (2) suy ra (MN) là đường vuông góc chung của (BC) và (AD)

Tam giác (ABC) đều nên (AN={{asqrt 3 } over 2})

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông (AMN) ta có:

(A{N^2} = M{N^2} + A{M^2})

(MN = sqrt {A{N^2} – A{M^2}}  = sqrt {{{3{a^2}} over 4} – {{{a^2}} over 4}}  = {{asqrt 2 } over 2})