Lý thuyết về giới hạn của dãy số: Bài 1. Giới hạn của dãy số...

Lý thuyết về giới hạn của dãy số.

Tóm tắt lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn

+) (underset{n ightarrow +infty }{lim }u_{n} = 0) khi và chỉ khi (|u_n|) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+) (underset{n ightarrow +infty }{lim }u_{n} = a Leftrightarrow underset{n ightarrow +infty }{lim }(u_{n}-a) = 0).

2. Giới hạn vô cực

+) (underset{n ightarrow +infty }{lim }u_{n}= +∞) khi và chỉ khi (u_n) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+ (underset{n ightarrow +infty }{lim }u_{n} = -∞ Leftrightarrow underset{n ightarrow +infty }{lim}(-u_{n})= +∞).

3. Các giới hạn đặc biệt

a) (lim frac{1}{n} = 0);

    (lim frac{1}{n^{k}} = 0);

(lim n^k= +∞), với (k) nguyên dương.

b) (lim q^n= 0) nếu (|q| < 1);

    (lim q^n= +∞) nếu (q > 1).

c) (lim c = c) ((c) là hằng số).

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Nếu (lim u_n=a) và (lim v_n= b), thì:

(limleft( {{u_{n}}+{v_n}} ight)= a +b)

(lim{ m{ }}({u_n} – {v_n}){ m{ }} = { m{ }}a – b)

(lim{ m{ }}({u_n}.{v_n}) = ab)

(lim{{{u_n}} over {{v_n}}} = {a over b}) (nếu (b ≠ 0)).

b) Nếu (u_n≥ 0) với mọi (n) và (lim u_n= a) thì (a > 0) và (lim sqrt{u_n}= sqrt a).

5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.

a) Nếu (lim u_n=a) và (lim v_n= ± ∞) thì (lim frac{u_{n}}{v_{n}}= 0).

b)  Nếu (lim u_n=a > 0), (lim v_n= 0) và (v_n> 0) với mọi (n) thì (lim frac{u_{n}}{v_{n}} = +∞)

c) Nếu (lim u_n= +∞) và (lim v_n= a > 0) thì (lim (u_n.v_n) = +∞).

6. Cấp số nhân lùi vô hạn

+ Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội (q) thỏa mãn (|q| <1).

+) Công thức tính tổng (S) của cấp số lùi vô hạn ((u_n)):

(S = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} + … = {{{u_1}} over {1 – q}})