Bài 10 trang 114 sgk Hình học 11: Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc...

Bài 10. Cho hình chóp tứ giác đều (S.ABCD) có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng (a). Gọi (O) là tâm của hình vuông ( ABCD).

a) Tính độ dài đoạn thẳng (SO).

b) Gọi (M) là trung điểm của đoạn (SC). Chứng minh hai mặt phẳng ((MBD)) và ((SAC)) vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài đoạn (OM) và tính góc giữa hai mặt phẳng ((MBD)) và ((ABCD)).

Giải

a) Hình chóp tứ giác đều nên (SOot (ABCD)). Do đó (SOot AC)

Xét tam giác (SOA) vuông tại (O):

(SO = sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=frac{asqrt{2}}{2}.)

b) (BDot AC) , (BDot SO) nên (BD ot (SAC)),

Mà (BD ⊂ (MBD)) do đó ((MBD) ⊥ (SAC)).

c) (OM =frac{SC}{2}=frac{a}{2}) (trung tuyến ứng với  cạnh huyền của tam giác vuông thì bằng nửa cạnh ấy). 

( Delta SDC = Delta SBC(c.c.c)) suy ra (DM=BM) suy ra tam giác (BDM) cân tại (M)

(OM) vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao nên (OMot BD)

(left. matrix{
(MBD) cap (ABCD) = BD hfill cr
OM ot BD hfill cr
OC ot BD hfill cr} ight} Rightarrow ) góc giữa hai mặt phẳng ((MBD)) và ((ABCD)) là (widehat {MOC})

Ta có (OM=frac{SC}{2}=frac{a}{2}) hay (OM=MC) Tam giác (OMC) vuông cân tại (M) 

((widehat{(MBD);(ABCD)})=(widehat{MOC})=45^{0}.)