Giải bài 84, 85, 86, 87 trang 19 Sách bài tập Toán 9 tập 1

Câu 85 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho biểu thức:

(P = {{sqrt x  + 1} over {sqrt x  - 2}} + {{2sqrt x } over {sqrt x  + 2}} + {{2 + 5sqrt x } over {x - 4}})

a) Rút gọn P với (x ge 0) và (x e 4.)

b) Tìm x để P = 2.

Gợi ý làm bài

a) Điều kiện: (x ge 0,x e 4)

Ta có:

(P = {{sqrt x  + 1} over {sqrt x  - 2}} + {{2sqrt x } over {sqrt x  + 2}} + {{2 + 5sqrt x } over {x - 4}})

( = {{(sqrt x  + 1)(sqrt x  + 2)} over {{{(sqrt x )}^2} - {2^2}}} + {{2sqrt x (sqrt x  - 2)} over {{{(sqrt x )}^2} - {2^2}}} - {{2 + 5sqrt x } over {x - 4}})

( = {{x + 2sqrt x  + sqrt x  + 2} over {x - 4}} + {{2x - 4sqrt x } over {x - 4}} - {{2 + 5sqrt x } over {x - 4}})

( = {{x + 3sqrt x  + 2 + 2x - 4sqrt x  - 2 - 5sqrt x } over {x - 4}})

( = {{3x - 6sqrt x } over {x - 4}} = {{3sqrt x (sqrt x  - 2)} over {(sqrt x  + 2)(sqrt x  - 2)}} = {{3sqrt x } over {sqrt x  + 2}})

b) Ta có: P = 2 (eqalign{
& Leftrightarrow {{3sqrt x } over {sqrt x + 2}} = 2 cr
& Leftrightarrow 3sqrt x = 2(sqrt x + 2) Leftrightarrow 3sqrt x = 2sqrt x + 4 cr} )

( Leftrightarrow sqrt x  = 4 Leftrightarrow x = 16)

Câu 86 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho biểu thức:

(Q = left( {{1 over {sqrt a  - 1}} - {1 over {sqrt a }}} ight):left( {{{sqrt a  + 1} over {sqrt a  - 2}} - {{sqrt a  + 2} over {sqrt a  - 1}}} ight))

a) Rút gọn Q với (a > 0,a e 4) và (a e 1).

b) Tìm giá trị của a để Q dương.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

(Q = left( {{1 over {sqrt a  - 1}} - {1 over {sqrt a }}} ight):left( {{{sqrt a  + 1} over {sqrt a  - 2}} - {{sqrt a  + 2} over {sqrt a  - 1}}} ight))

( = {{sqrt a  - left( {sqrt a  - 1} ight)} over {sqrt a left( {sqrt a  - 1} ight)}}:{{left( {sqrt a  + 1} ight)left( {sqrt a  - 1} ight) - left( {sqrt a  + 2} ight)left( {sqrt a  - 2} ight)} over {left( {sqrt a  - 2} ight)left( {sqrt a  - 1} ight)}})

( = {1 over {sqrt a left( {sqrt a  - 1} ight)}}:{{a - 1 - 1 + 4} over {left( {sqrt a  - 2} ight)left( {sqrt a  - 1} ight)}})

( = {1 over {sqrt a left( {sqrt a  - 1} ight)}}.{{left( {sqrt a  - 2} ight)left( {sqrt {a - 1} } ight)} over 3})

( = {{sqrt a  - 2} over {3sqrt a }}) (với (a > 0,a e 4) và (a e 1))

b) Ta có: (a ge 0) nên (sqrt a  > 0)

Khi đó: (Q = {{sqrt a  - 2} over {3sqrt a }}) dương khi (sqrt a  - 2 > 0)

Ta có: (sqrt a  - 2 > 0 Leftrightarrow sqrt a  > 2 Leftrightarrow a > 4)

Vậy khi a>4 thì Q>0

Câu 87 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với ba số  a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức:

(a + b + c ge sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {ca} )

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.

Gợi ý làm bài

Vì a, b và c không âm nên  và $sqrt c $ tồn tại.

Ta có: ({left( {sqrt a  - sqrt b } ight)^2} ge 0) suy ra:

(eqalign{
& a + b - 2sqrt {ab} ge 0 Leftrightarrow a + b ge 2sqrt {ab} cr
& Leftrightarrow {{a + b} over 2} ge sqrt {ab} ,,(1) cr} )

({left( {sqrt b  - sqrt c } ight)^2} ge 0) suy ra:

(eqalign{
& b + c - 2sqrt {bc} ge 0 Leftrightarrow b + c ge 2sqrt {bc} cr
& Leftrightarrow {{b + c} over 2} ge sqrt {bc} ,,(2) cr} )

({left( {sqrt c  - sqrt a } ight)^2} ge 0) suy ra:

(eqalign{
& c + a - 2sqrt {ca} ge 0 Leftrightarrow c + a ge 2sqrt {ca} cr
& Leftrightarrow {{c + a} over 2} ge sqrt {ca} ,,(3) cr} )

Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:

({{a + b} over 2} + {{b + c} over 2} + {{c + a} over 2} ge sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {ca} )

( Leftrightarrow a + b + c ge sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {ca} )

- Với bốn số a, b, c, d không âm, ta có:

(a + b + c + d ge sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {cd}  + sqrt {da} )

- Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:

(a + b + c + d + e ge sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {cd}  + sqrt {de}  + sqrt {ea} )

Zaidap.com