Giải bài 76, 77, 78, 79 trang 17 Sách bài tập Toán 9 tập 1

Câu 76 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

 Trục căn thức ở mẫu:

a) ({1 over {sqrt 3  + sqrt 2  + 1}})

b)({1 over {sqrt 5  - sqrt 3  + 2}})

Gợi ý làm bài

a) (eqalign{
& {1 over {sqrt 3 + sqrt 2 + 1}} = {1 over {sqrt 3 + (sqrt 2 + 1)}} cr
& = {{sqrt 3 - (sqrt 2 + 1)} over {left[ {sqrt 3 + (sqrt 2 + 1)} ight]left[ {sqrt 3 - (sqrt 2 + 1)} ight]}} cr} )

( = {{sqrt 3  - sqrt 2  - 1} over {3 - {{(sqrt 2  + 1)}^2}}} = {{sqrt 3  - sqrt 2  - 1} over {3 - (2 + 2sqrt 2  + 1)}} = {{sqrt 3  - sqrt 2  - 1} over { - 2sqrt 2 }})

( = {{ - sqrt 2 (sqrt 3  - sqrt 2  - 1)} over {2{{(sqrt 2 )}^2}}} = {{ - sqrt 6  + 2 + sqrt 2 } over 4})

b) ({1 over {sqrt 5  - sqrt 3  + 2}} = {{sqrt 5  + (sqrt 3  - 2)} over {left[ {sqrt 5  - (sqrt 3  - 2)} ight]left[ {sqrt 5  + (sqrt 3  - 2)} ight]}})

( = {{sqrt 5  + (sqrt 3  - 2)} over {5 - {{(sqrt 3  - 2)}^2}}} = {{sqrt 5  + (sqrt 3  - 2)} over {5 - (3 - 4sqrt 3  + 4)}} = {{sqrt 5  + (sqrt 3  - 2)} over {4sqrt 3  - 2}})

(= {{sqrt 5  + sqrt 3  - 2} over {2(2sqrt 3  - 1)}} = {{(sqrt 5  + sqrt 3  - 2)(2sqrt 3  + 1)} over {2left[ {(2sqrt 3  - 1)(2sqrt 3  + 1)} ight]}})

(eqalign{
& = {{2sqrt {15} + sqrt 5 + 6 + sqrt 3 - 4sqrt 3 - 2} over {2(12 - 1)}} cr
& = {{2sqrt {15} + sqrt 5 + 4 - 3sqrt 3 } over {22}} cr} )

Câu 77 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x, biết: 

a) (sqrt {2x + 3}  = 1 + sqrt 2 )

b) (sqrt {10 + sqrt {3x} }  = 2 + sqrt 6 )

c) (sqrt {3x - 2}  = 2 - sqrt 3 )

d) (sqrt {x + 1}  = sqrt 5  - 3)

Gợi ý làm bài

a) 

(eqalign{
& sqrt {2x + 3} = 1 + sqrt 2 Leftrightarrow 2x + 3 = {(1 + sqrt 2 )^2} cr
& Leftrightarrow 2x + 3 = 1 + 2sqrt 2 + 2 cr} )

b) (sqrt {10 + sqrt {3x} }  = 2 + sqrt 6 )

( Leftrightarrow 10 + sqrt {3x}  = {(2 + sqrt 6 )^2})

( Leftrightarrow 10 + sqrt {3x}  = 4 + 4sqrt 6  + 6 Leftrightarrow sqrt {3x}  = 4sqrt 6 )

( Leftrightarrow x = {{4sqrt 6 } over {sqrt 3 }} Leftrightarrow x = 4sqrt 2 )

c) 

(eqalign{
& sqrt {3x - 2} = 2 - sqrt 3 Leftrightarrow 3x - 2 = {(2 - sqrt 3 )^2} cr
& Leftrightarrow 3x - 2 = 4 - 4sqrt 3 + 3 cr} )

( Leftrightarrow 3x = 9 - 4sqrt 3  Leftrightarrow x = {{9 - 4sqrt 3 } over 3})

d) (sqrt {x + 1}  = sqrt 5  - 3)

Ta có:

(sqrt 5 ) < (sqrt 9 ) ( Leftrightarrow sqrt 5  < 3 Leftrightarrow sqrt 5  - 3 < 0)

Không có giá trị nào của x để (sqrt {x + 1}  = sqrt 5  - 3)

Câu 78 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm tập hợp các giá trị x thỏa mãn điều kiện sau và biểu diễn tập hợp đó trên trục số:

a) (sqrt {x - 2}  ge sqrt 3 )

b) (sqrt {3 - 2x}  le sqrt 5 )

Gợi ý làm bài

a) Điều kiện: (x - 2 ge 0 Leftrightarrow x ge 2)

Ta có: (sqrt {x - 2}  ge sqrt 3  Leftrightarrow x - 2 ge  Leftrightarrow x ge 5)

Giá trị (x ge 5) thỏa mãn điều kiện.

Điều kiện: (3 - 2x ge 0 Leftrightarrow 3 ge 2x Leftrightarrow x le 1,5)

Ta có: 

(eqalign{
& sqrt {3 - 2x} le sqrt 5 Leftrightarrow 3 - 2x le 5 cr
& Leftrightarrow - 2x le 2 Leftrightarrow x ge - 1 cr} )

Kết hợp với điều kiện ta có: ( - 1 le x le 1,5)

Câu 79 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho các số x và y có dạng: (x = {a_1}sqrt 2  + {b_1}) và (x = {a_2}sqrt 2  + {b_2}), trong đó ({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}) là các số hữu tỉ. Chứng minh:

a) x + y và x,y cũng có dạng (asqrt 2  + b) với a và b là số hữu tỉ.

b) ({x over y}) với (y e 0) cũng có dạng (asqrt 2  + b) với a và b là số hữu tỉ.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

(eqalign{
& x + y = ({a_1}sqrt 2 + {b_1}) + ({a_2}sqrt 2 + {b_2}) cr
& = ({a_1} + {a_2})sqrt 2 + ({b_1} + {b_2}) cr} )

Vì ({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}) là các số hữu tỉ nên ({a_1} + {a_2},{b_1} + {b_2}) cũng là số hữu tỉ.

Lại có: 

(eqalign{
& xy = ({a_1}sqrt 2 + {b_1})({a_2}sqrt 2 + {b_2}) cr
& = 2{a_1}{a_2} + {a_1}{b_2}sqrt 2 + {a_2}{b_1}sqrt 2 + {b_1}{b_2} cr} )

( = ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})sqrt 2  + (2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}))

Vì ({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}) là các số hữu tỉ nên ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1}), (2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}) cũng là số hữu tỉ. 

b) Ta có:

(eqalign{
& {x over y} = {{{a_1}sqrt 2 + {b_1}} over {{a_2}sqrt 2 + {b_2}}} cr
& = {{({a_1}sqrt 2 + {b_1})({a_2}sqrt 2 - {b_2})} over {{{({a_2}sqrt 2 )}^2} - {b_2}^2}} cr} )

( = {{2{a_1}{a_2} - {a_1}{b_2}sqrt 2  + {a_2}{b_1}sqrt 2  - {b_1}{b_2}} over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}})

(= sqrt 2 {{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}} + {{2{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}})

Vì (y e 0) nên ({a_2}) và ({b_2}) không đồng thời bằng 0

Suy ra: (2{a_2}^2 - {b_2}^2) ( e 0)

Nếu (2{a_2}^2 - {b_2}^2 = 0) thì (sqrt 2 {{{b_2}} over {{a_2}}})

Điều này mâu thuẫn với (sqrt 2 ) là số vô tỉ.

Vậy ({{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}); ({{2{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}) đều là số hữu tỉ.

Zaidap.com