Định lý cosin trong tam giác và ứng dụng của định lý cos

Định lý cosin là gì trong lượng giác, phát biểu đầy đủ của định lý cos và ứng dụng thực tế của định lý cosin trong hình học. Vai trò của định lý hàm số cosin rất quan trọng, nó cho phép chúng ta tính độ dài một cạnh khi biết hai cạnh kia và góc giữa hai cạnh đó; cũng như tính một góc trong tam giác khi biết độ dài 3 cạnh. Ứng dụng của định lý cosin khá rộng, mà trong khuôn khổ bài viết này của giainghia.com khó có thể liệt kê hết, bạn phải siêng giải bài tập thì mới biết nhiều.

1.Định lý Cosin trong tam giác

Định lý cosin trong lượng giác là biểu diễn sự liên quan giữa chiều dài các cạnh của một tam giác với cosin của góc tương ứng. Hay nói đúng hơn, định lý cos khái quát định lý Pitago khi tam giác đó là tam giácc vuông.

Cho một tam giác với các góc α (hoặc A), β (hoặc B), γ (hoặc C) lần lượt đối diện với các cạnh có độ dài a, b, c. Ta có Định lí hàm số Cosin , hệ thực lượng trong tam giác thường được viết như sau:

a² = b² + c² – 2bc. Cos A

b² = a² + c² – 2ac. Cos B

c² = a² + b² – 2ab. Cos C

Như vậy, định lý cos là khái quát định lý Pitagi khi góc A = 90 độ và cosin A = 0. Lúc này ta có: a² = b² + c²

Hệ quả của định lý cosin:

Cos (A) = (b² + c² – a²)/2bc

Cos (B) = (a² + c² – b²)/2ac

Cos (C) = (a² + b² – c²)/2ab

2.Ứng dụng của định lý cosin

Định lý cos để giải một tam giác hoặc một đường tròn. Cụ thể, Định lý cos được dùng để tính cạnh thứ ba khi biết hai cạnh còn lại và góc giữa hai cạnh đó, hoặc tính các góc khi chỉ biết chiều dài ba cạnh của một giác.

• Tính độ dài cạnh thứ 3 của một tam giác khi biết 2 cạnh còn lại và góc giữa chúng:

VD: c=  √( a² + b² – 2ab. Cos C) hoặc c = √( a² + b² – 2ab. Cos γ)

• Tính số đo ba góc nếu biết ba cạnh của tam giác:

γ = arccos {( a² + b² – c²)/2ab}

• Tính độ dài cạnh thứ ba nếu biết hai cạnh còn lại và góc gối diện một trong hai cạnh đó:

a = b cos γ +_ √ (c² + b² – sin²γ)

Công thức thứ ba có được nhờ giải phương trình bậc hai a² − 2ab cos γ + b² − c² = 0 với ẩn a. Phương trình này có hai nghiệm dương nếu b sin γ < c < b, một nghiệm dương nếu c ≥ b hoặc c = b sin γ, và vô nghiệm nếu c < b sin γ.

2.Ứng dụng định lý Cos vào việc tính Độ dài đường trung tuyến:

Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b. Gọi m_a, m_b và m_c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B và C. Ta có :

m_a² = (b² + c²)/2 – a²/4

m_b² = (c² + a²)/2 – b²/4

m_c² = (a² + b²)/2 – c²/4

3.Công thức tính diện tích tam giác từ định lý Cosin:

Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b. Kí hiệu h_a, h_b và h_c lần lượt là các đường cao vẽ từ A, B và C. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi tam giác đó. Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau :

S = 1/2 ab. sin C = 1/2 ac. sin B = 1/2 bc. sin A

Hoặc S=ah_a.1/2 = bh_b.1/2 = ch_c.1/2 =  abc/ 4R = p.r

Trên đây là toàn bộ định lý cosin trong lượng giác đầy đủ nhất. Đặc biệt, các bạn học sinh sẽ biết cách ứng dụng định lý cosin vào từng trường hợp cụ thể, nhất là việc giải toán trong tam giác và đường tròn. Định lý hàm số cosin rất quan trọng và nằm trong hệ thức lượng trong tam giác mà học sinh các cấp cần phải nhớ.