Câu 9 trang 177 SGK Đại số 11: Tính góc giữa hai tiếp tuyến...

Bài 9. Cho hai hàm số: (y = {1 over {xsqrt 2 }};y = {{{x^2}} over {sqrt 2 }}) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.

Trả lời:

_ ({C_1}:y = f(x) = {1 over {xsqrt 2 }} Rightarrow f'(x) =  – {1 over {{x^2}sqrt 2 }})

_ ({C_2}:y = g(x) = {{{x^2}} over {sqrt 2 }} Rightarrow g'(x) = {{2x} over {sqrt 2 }} = xsqrt 2 )

_  Phương trình hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂) là:

({1 over {xsqrt 2 }} = {{{x^2}} over {sqrt 2 }} Leftrightarrow left{ matrix{
x e 0 hfill cr
{x^3} = 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow x = 1 Rightarrow y = {1 over {sqrt 2 }} = {{sqrt 2 } over 2})

Vậy giao điểm của (C₁) và (C₂) là (A(1,{{sqrt 2 } over 2}))

_ Phương trình tiếp tuyến của (C₁) tại điểm A là:

(eqalign{
& y – {{sqrt 2 } over 2} = f'(1)(x – 1) Leftrightarrow y – {{sqrt 2 } over 2} = – {1 over {sqrt 2 }}(x – 1) cr
& Leftrightarrow y = – {x over {sqrt 2 }} + sqrt 2 cr} )

Tiếp tuyến này có hệ số góc (k_1= {{ – 1} over {sqrt 2 }})

_ Phương trình tiếp tuyến của (C₂) tại điểm (A) là:

(eqalign{
& y – {{sqrt 2 } over 2} = g'(1)(x – 1) Leftrightarrow y – {{sqrt 2 } over 2} = sqrt 2 (x – 1) cr
& Leftrightarrow y = xsqrt 2 – {{sqrt 2 } over 2} cr} )

Tiếp tuyến này có hệ số góc (k_2= sqrt 2)

_ Ta có: ({k_1}.{k_2} = ( – {1 over {sqrt 2 }})(sqrt 2 ) =  – 1)

⇒ Hai tiếp tuyến nói trên vuông góc với nhau

⇒ góc giữa hai tiếp tuyến bằng (90^0).