Câu 8 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Cho một tam giác đều ABC cạnh a....

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A₂B₂C₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A₁B₁C₁,…, tam giác A_n+1B_n+1C_n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A_nB_nC_n, … . Gọi p₁, p₂, …, p_n, … và S₁, S₂, …, S_n, … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác

a. Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n).

b. Tìm các tổng

({p_1} + {p_2} + … + {p_n} + …,va,{S_1} + {S_2} + … + {S_n} + …)

Giải:

a. Ta có:

({p_1} = {a over 2} + {a over 2} + {a over 2} = {{3a} over 2};,,,,,,,,,,,,,{p_2} = {{3a} over 4} = {{3a} over {{2^2}}},…,{p_n} = {{3a} over {{2^n}}})

(chứng minh bằng qui nạp)

Vì  (lim {1 over {{2^n}}} = lim {left( {{1 over 2}} ight)^n} = 0,nen,lim {p_n} = 0)

Diện tích ta) giác ABC là (S = {{{a^2}sqrt 3 } over 4}). Diện tích tam giác A₁B₁C₁là  ({S_1} = {S over 4})

Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được rằng diện tích tam giác 

({A_n}{B_n}{C_n},la,{S_n} = {{{a^2}sqrt 3 } over 4}.{left( {{1 over 4}} ight)^n})

Vì  (lim {left( {{1 over 4}} ight)^n} = 0,nen,lim {S_n} = 0)

b. Ta có (p_n) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội (q = {1 over 2},) do đó :

({p_1} + {p_2} + … + {p_n} + … = {{{p_1}} over {1 – {1 over 2}}} = 2{p_1} = 3a)

(S_n) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội (q’ = {1 over 4}) do đó :

({S_1} + {S_2} + … + {S_n} + … = {{{S_1}} over {1 – {1 over 4}}} = {4 over 3}{S_1} = {S over 3} = {{{a^2}sqrt 3 } over {12}})

 Baitapsgk.com