Câu 62 trang 145 Sách bài tập Toán lớp 7 tập 1: Chứng minh rằng: a) DM = AH....

Cho tam giác ABC. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác  vuông tại A là ABD, ACE có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH. Chứng minh rằng:

a) DM = AH

b) MN đi qua trung điểm của DE

Giải

a) Ta có (widehat {BAH} + widehat {BA{ m{D}}} + widehat {DAM} = 180^circ ) (kề bù)

Mà  (widehat {BA{ m{D}}} = 90^circ  Rightarrow widehat {BAH} + widehat {DAM} = 90^circ )      (1)

Trong tam giác vuông AMD, ta có:

(widehat {AM{ m{D }}} = 90^circ  Rightarrow widehat {DAM} + widehat {A{ m{D}}M} = 90^circ left( 2 ight))

Từ (1) và (2) suy ra: (widehat {BAH} = widehat {A{ m{D}}M})

Xét hai tam giác vuông AMD và BHA, ta có:

(widehat {AM{ m{D}}} = widehat {BAH} = 90^circ )

AB = AD (gt)

(widehat {BAH} = widehat {A{ m{D}}M}) (chứng minh trên)

Suy ra: ∆AMD = ∆BHA (cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy: AH = DM (2 cạnh tương ứng)     (3)

b) Ta có: (widehat {HAC} + widehat {CA{ m{E}}} + widehat {E{ m{A}}N} = 180^circ ) (kề bù)

Mà (widehat {CA{ m{E}}} = 90^circ left( {gt} ight) Rightarrow widehat {HAC} + widehat {E{ m{A}}N} = 90^circ )     (4)

Trong tam giác vuông AHC, ta có:

(widehat {AHC} = 90^circ  Rightarrow widehat {HAC} + widehat {HCA} = 90^circ left( 5 ight))

Từ (4) và (5) suy ra: (widehat {HCA} = widehat {E{ m{A}}N})

Xét hai tam giác vuông AHC và ENA, ta có:

(widehat {AHC} = widehat {E{ m{N}}A} = 90^circ )

AC = AE (gt)

(widehat {HCA} = widehat {E{ m{A}}N}) (chứng minh trên)

Suy ra: ∆AHC = ∆ENA (cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy AH = EN (2 cạnh tương ứng)

Từ (3) và (6)  suy ra : DM = EN

Vì (DM ot AH) và (EN ot AH) nên DM // EN (2 đường thẳng cùng vuông góc đường thẳng thứ 3)

Gọi O là giao điểm MN và DE

Xét hai tam giác vuông DMO và ENO, ta có:

(widehat {DMO} = widehat {EN{ m{O}}} = 90^circ )

DM = EN (chứng minh trên)

(widehat {M{ m{D}}O} = widehat {NEO}) (so le trong)

Suy ra: ∆DMO = ∆ENO (g.c.g) => OD = DE

Vậy MN đi qua trung điểm của DE.