Câu 77 trang 148 SBT Toán 7 tập 1: Chứng minh rằng ∆DEF là tam giác đều....

Cho tam giác đều ABC. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA  sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng ∆DEF là tam giác đều.

Giải

Ta có:       AB = AD +  DB                   (1)

                  BC = BE + EC                    (2)

                  AC = AF + FC                     (3)

                  AB = AC  = BC (gt)             (4)

                  AD = BE = CF (gt)              (5)

Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra:

                 BD = EC = AF

Xét ∆ADF và ∆BED, ta có:

           AD = BE (gt)

           (widehat A = widehat B = 60^circ ) (vì ∆ABC đều)

            AE = BD (chứng minh trên)

Suy ra: ∆ADF =  ∆BED   (c.g.c)                   

Suy ra: DF = DE (hai cạnh tương ứng)           (6)

Xét ∆ADF và ∆CFE ta có:

              AD = CF (gt)

             (widehat A = widehat C = 60^circ ) (vì ∆ABC đều)

             EC = AF (chứng minh trên)        

Suy ra : ∆ADF = ∆CFE (c.g.c)

Suy ra: DF = FE (hai cạnh tương ứng)          (7)

Từ (6) và (7) suy ra: DF = ED = FE

Vậy ∆DEF đều.