Câu 54 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

∆ AOB đồng dạng ∆ DOC

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, (widehat {ABD} = widehat {ACD}).Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC (h.39)

Chứng minh rằng :

a. ∆ AOB đồng dạng ∆ DOC

b. ∆ AOD đồng dạng ∆ BOC

c. EA.ED = EB.EC

Giải:

(hình 39 trang 97 sbt)

a. Xét ∆ AOB và ∆ DOC, ta có:

 (widehat {ABD} = widehat {ACD})(gt)

Hay (widehat {ABO} = widehat {OCD})

(widehat {AOB} = widehat {DOC})  (đối đỉnh)

Vậy ∆ AOB đồng dạng ∆ DOC (g.g)

b. Vì ∆ AOB đồng dạng ∆ DOC nên:

({{AO} over {DO}} = {{OB} over {OC}} Rightarrow {{AO} over {OB}} = {{DO} over {OC}})

Xét ∆ AOD và ∆ BOC, ta có:

({{AO} over {OB}} = {{DO} over {OC}})

(widehat {AOD} = widehat {BOC})  (đối đỉnh)

Vậy ∆ AOD đồng dạng ∆ BOC (c.g.c)

c. Vì ∆ AOD đồng dạng ∆ BOC nên:

(widehat {ADO} = widehat {BCO})

hay (widehat {EDB} = widehat {ECA})

Xét ∆ EDB và ∆ ECA, ta có:

(widehat E) chung

(widehat {EDB} = widehat {ECA})  (chứng minh trên )

Vậy ∆ EDB đồng dạng ∆ ECA (g.g)

Suy ra: ({{ED} over {EC}} = {{EB} over {EA}} Rightarrow ED.EA = EC.EB)