Câu 50 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.

Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:

a) ({left( {4x - 5} ight)^2} - 6left( {4x - 5} ight) + 8 = 0)

b) ({left( {{x^2} + 3x - 1} ight)^2} + 2left( {{x^2} + 3x - 1} ight) - 8 = 0)

c) ({left( {2{x^2} + x - 2} ight)^2} + 10{x^2} + 5x - 16 = 0)

d) (left( {{x^2} - 3x + 4} ight)left( {{x^2} - 3x + 2} ight) = 3)

e) ({{2{x^2}} over {{{left( {x + 1} ight)}^2}}} - {{5x} over {x + 1}} + 3 = 0)

f) (x - sqrt {x - 1}  - 3 = 0)

Giải

a) ({left( {4x - 5} ight)^2} - 6left( {4x - 5} ight) + 8 = 0) đặt (4x - 5 = t,) ta có phương trình:

(eqalign{
& {t^2} - 6t + 8 = 0 cr
& Delta ' = {left( { - 3} ight)^2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0 cr
& sqrt {Delta '} = sqrt 1 = 1 cr
& {t_1} = {{3 + 1} over 1} = 4 cr
& {t_2} = {{3 - 1} over 1} = 2 cr} )

Suy ra:

(left[ {matrix{
{4x - 5 = 4} cr
{4x - 5 = 2} cr
} Leftrightarrow left[ {matrix{
{4x = 9} cr 
{4x = 7} cr} Leftrightarrow left[ {matrix{
{x = {9 over 4}} cr 
{x = {7 over 4}} cr} } ight.} ight.} ight.)

Phương trình có 2 nghiệm: ({x_1} = {9 over 4};{x_2} = {7 over 4})

b) ({left( {{x^2} + 3x - 1} ight)^2} + 2left( {{x^2} + 3x - 1} ight) - 8 = 0) đặt ({x^2} + 3x - 1 = t)

Ta có phương trình: ({t^2} + 2t - 8 = 0)

(eqalign{
& Delta ' = {1^2} - 1.left( { - 8} ight) = 1 + 8 = 9 > 0 cr
& sqrt {Delta '} = sqrt 9 = 3 cr
& {t_1} = {{ - 1 + 3} over 1} = 2 cr
& {t_2} = {{ - 1 - 3} over 1} = - 4 cr} )

Với t₁ = 2 ta có: ({x^2} + 3x - 1 = 2 Leftrightarrow {x^2} + 3x - 3 = 0)

(eqalign{
& Delta = 9 - 4.1.left( { - 3} ight) = 9 + 12 = 21 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt {21} cr
& {x_1} = {{ - 3 + sqrt {21} } over 1} = - 3 + sqrt {21} cr
& {x_2} = {{ - 3 - sqrt {21} } over 1} = - 3 - sqrt {21} cr} )

Với t₂ = -4 ta có: ({x^2} + 3x - 1 =  - 4 Leftrightarrow {x^2} + 3x + 3 = 0)

(Delta  = {3^2} - 4.1.3 = 9 - 12 =  - 3 < 0)

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có hai nghiệm: ({x_1} =  - 3 + sqrt {21} ;{x_2} =  - 3 - sqrt {21} )

c)

(eqalign{
& {left( {2{x^2} + x - 2} ight)^2} + 10{x^2} + 5x - 16 = 0 cr
& Leftrightarrow {left( {2{x^2} + x - 2} ight)^2} + 5left( {2{x^2} + x - 2} ight) - 6 = 0 cr} )

Đặt (2{x^2} + x - 2 = t)

Ta có phương trình: ({t^2} + 5t - 6 = 0) có dạng:

(eqalign{
& a + b + c = 0;1 + 5 + left( { - 6} ight) = 0 cr
& {t_1} = 1;{t_2} = - 6 cr} )

Với t₁ = 1 ta có: (2{x^2} + x - 2 = 1 Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0) có dạng: (a + b + c = 0)

(2 + 1 + left( { - 3} ight) = 0 Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} =  - {3 over 2})

Với t₂ = -6 ta có: (2{x^2} + x - 2 =  - 6 Leftrightarrow 2{x^2} + x + 4 = 0)

(Delta  = {1^2} - 4.2.4 = 1 - 32 =  - 31 < 0)

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: ({x_1} = 1;{x_2} =  - {3 over 2})

d)

(eqalign{
& left( {{x^2} - 3x + 4} ight)left( {{x^2} - 3x + 2} ight) = 3 cr
& Leftrightarrow left[ {left( {{x^2} - 3x + 2} ight) + 2} ight]left( {{x^2} - 3x + 2} ight) = 3 cr
& Leftrightarrow {left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^2} + 2left( {{x^2} - 3x + 2} ight) - 3 = 0 cr} )

Đặt ({x^2} - 3x + 2 = t)

Ta có phương trình: ({t^2} + 2t - 3 = 0) có dạng:

(eqalign{
& a + b + c = 0;1 + 2 + left( { - 3} ight) = 0 cr
& {t_1} = 1;{t_2} = {{ - 3} over 1} = - 3 cr} )

Với t₁ = 1 ta có: ({x^2} - 3x + 2 = 1 Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0)

(eqalign{
& Delta = {left( { - 3} ight)^2} - 4.1.1 = 9 - 4 = 5 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt 5 cr
& {x_1} = {{3 + sqrt 5 } over {2.1}} = {{3 + sqrt 5 } over 2} cr
& {x_2} = {{3 - sqrt 5 } over {2.1}} = {{3 - sqrt 5 } over 2} cr} )

Với t₂ = -3 ta có: ({x^2} - 3x + 2 =  - 3 Leftrightarrow {x^2} - 3x + 5 = 0)

(Delta  = {left( { - 3} ight)^2} - 4.1.5 = 9 - 20 =  - 11 < 0)

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: ({x_1} = {{3 + sqrt 5 } over 2};{x_2} = {{3 - sqrt 5 } over 2})

e)

(eqalign{
& {{2{x^2}} over {{{left( {x + 1} ight)}^2}}} - {{5x} over {x + 1}} + 3 = 0 cr
& Leftrightarrow 2{left( {{x over {x + 1}}} ight)^2} - 5left( {{x over {x + 1}}} ight) + 3 = 0 cr} )

Đặt ({x over {x + 1}} = t,) ta có phương trình: (2{t^2} - 5t + 3 = 0)

(2{t^2} - 5t + 3 = 0) có dạng: (a + b + c = 0;2 + left( { - 5} ight) + 3 = 0)

({t_1} = 1;{t_2} = {3 over 2})

Với ({t_1} = 1) ta có: ({x over {x + 1}} = 1 Leftrightarrow x = x + 1 Rightarrow 0x = 1) vô nghiệm

Với t₂ = ({3 over 2}) ta có: ({x over {x + 1}} = {3 over 2} Leftrightarrow 2x = 3x + 3 Rightarrow x =  - 3)

x = -3 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = -3

f) (x - sqrt {x - 1}  - 3 = 0) điều kiện: x ≥ 1

( Leftrightarrow left( {x - 1} ight) - sqrt {x - 1}  - 2 = 0) đặt (sqrt {x - 1}  = t Rightarrow t ge 0)

Ta có phương trình: ({t^2} - t - 2 = 0) có dạng: (a - b + c = 0)

(eqalign{
& 1 - left( { - 1} ight) + left( { - 2} ight) = 1 + 1 - 2 = 0 cr
& {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 2} over 1} = 2 cr} )

({t_1} =  - 1 < 0) loại

Với ({t_2} = 2) ta có: (sqrt {x - 1}  = 2 Rightarrow x - 1 = 4 Rightarrow x = 5)

x = 5 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = 5

Sachbaitap.com