Câu 6.1, 6.2, 6.3, 6.4 trang 58, 59 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm. ...
Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm.
Câu 6.1 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (a{x^2} + bx + c = 0(a e 0).)
Điều nào sau đây đúng?
A) ({x_1} + {x_2} = {b over a},{x_1}{x_2} = {c over a})
B) ({x_1} + {x_2} = - {b over a},{x_1}{x_2} = - {c over a})
C) ({x_1} + {x_2} = {b over a},{x_1}{x_2} = - {c over a})
D) ({x_1} + {x_2} = - {b over a},{x_1}{x_2} = {c over a})
Giải
x1, x2 là nghiệm của phương trình: (a{x^2} + bx + c = 0(a e 0))
Chọn D ({x_1} + {x_2} = - {b over a},{x_1}{x_2} = {c over a})
Câu 6.2 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giả sử x1, x2 la hai nghiệm của phương trình ({x^2} + px + q = 0.) Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 + x2, x1x2.
Giải
Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình: ({x^2} + px + q = 0)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: ({x_1} + {x_2} = - {p over 1} = - p;{x_1}{x_2} = {q over 1} = q)
Phương trình có hai nghiệm là ({x_1} + {x_2}) và ({x_1}{x_2}) tức là phương trình có hai nghiệm là –p và q.
Hai số -p và q là nghiệm của phương trình.
(eqalign{
& left( {x + p}
ight)left( {x - q}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} - qx + px - pq = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} + left( {q - p}
ight)x - pq = 0 cr} )
Phương trình cần tìm: ({x^2} + left( {p - q} ight)x - pq = 0)
Câu 6.3 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Dùng định lí Vi-ét, hãy chứng tỏ rằng nếu tam thức (a{x^2} + bx + c) có hai nghiệm x1 và x2 thì nó phân tích được thành
(a{x^2} + bx + c = aleft( {x - {x_1}} ight)left( {x - {x_2}} ight))
Áp dụng:
Phân tích các tam thức sau thành tích:
a) ({x^2} - 11x + 30)
b) (3{x^2} + 14x + 8)
c) (5{x^2} + 8x - 4)
d) ({x^2} - left( {1 + 2sqrt 3 } ight)x - 3 + sqrt 3 )
Giải
a) Tam thức bậc hai: (a{x^2} + bx + c) có hai nghiệm x1, x2 nên phương trình: (a{x^2} + bx + c = 0(a e 0)) có hai nghiệm x1, x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
(eqalign{
& {x_1} + {x_2} = - {b over a};{x_1}{x_2} = {c over a}(1) cr
& a{x^2} + bx + c = aleft( {{x^2} + {b over a}x + {c over a}}
ight)(2) cr} )
Từ (1) và (2) suy ra:
(eqalign{
& a{x^2} + bx + c = aleft[ {{x^2} - left( {{x_1} + {x_2}}
ight)x + {x_1}{x_2}}
ight] cr
& = aleft[ {{x^2} - {x_1}x - {x_2}x + {x_1}{x_2}}
ight] cr
& = aleft[ {xleft( {x - {x_1}}
ight) - {x_2}left( {x - {x_1}}
ight)}
ight] cr
& = aleft( {x - {x_1}}
ight)left( {x - {x_2}}
ight) cr} )
Áp dụng
a)
(eqalign{
& {x^2} - 11x + 30 = x cr
& Delta = {left( { - 11}
ight)^2} - 4.1.30 = 121 - 120 = 1 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt 1 = 1 cr
& {x_1} = {{11 + 1} over {2.1}} = 6 cr
& {x_2} = {{11 - 1} over {2.1}} = 5 cr} )
Ta có: ({x^2} - 11x + 30 = left( {x - 6} ight)left( {x + 5} ight))
b)
(eqalign{
& 3{x^2} + 14x + 8 = 0 cr
& Delta ' = {7^2} - 3.8 = 49 - 24 = 25 > 0 cr
& sqrt {Delta '} = sqrt {25} = 5 cr
& {x_1} = {{ - 7 + 5} over 3} = - {2 over 3} cr
& {x_2} = {{ - 7 - 5} over 3} = - 4 cr
& 3{x^2} + 14x + 8 = 3left( {x + {2 over 3}}
ight)left( {x + 4}
ight) = left( {3x + 2}
ight)left( {x + 4}
ight) cr} )
c)
(eqalign{
& 5{x^2} + 8x - 4 = 0 cr
& Delta ' = {4^2} - 5.left( { - 4}
ight) = 16 + 20 = 36 > 0 cr
& sqrt {Delta '} = sqrt {36} = 6 cr
& {x_1} = {{ - 4 - 6} over 5} = - 2 cr
& {x_2} = {{ - 4 + 6} over 5} = {2 over 5} cr
& Rightarrow 5{x^2} + 8x - 4 = 5left( {x - {2 over 5}}
ight)left( {x + 2}
ight) = left( {5x - 2}
ight)left( {x + 2}
ight) cr} )
d)
(eqalign{
& {x^2} - left( {1 + 2sqrt 3 }
ight)x - 3 + sqrt 3 = 0 cr
& Delta = {left[ { - left( {1 + 2sqrt 3 }
ight)}
ight]^2} - 4.1.left( { - 3 + sqrt 3 }
ight) cr
& = 1 + 4sqrt 3 + 12 + 12 - 4sqrt 3 = 25 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt {25} = 5 cr
& {x_1} = {{1 + 2sqrt 3 + 5} over {2.1}} = 3 + sqrt 3 cr
& {x_2} = {{1 + 2sqrt 3 - 5} over {2.1}} = sqrt 3 - 2 cr
& {x^2} - left( {1 + 2sqrt 3 }
ight)x - 3 + sqrt 3 = left[ {x - left( {3 + sqrt 3 }
ight)}
ight]left[ {x - left( {sqrt 3 - 2}
ight)}
ight] cr
& = left( {x - 3 - sqrt 3 }
ight)left( {x - sqrt 3 + 2}
ight) cr} )
Câu 6.4 trang 59 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Cho phương trình
(left( {2m - 1} ight){x^2} - 2left( {m + 4} ight)x + 5m + 2 = 0(m e {1 over 2}).)
a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.
c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.
Giải
Phương trình: (left( {2m - 1} ight){x^2} - 2left( {m + 4} ight)x + 5m + 2 = 0(m e {1 over 2})) (1)
a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (sqrt {Delta '} ge 0)
(eqalign{
& Delta ' = {left[ { - left( {m + 4}
ight)}
ight]^2} - left( {2m - 1}
ight)left( {5m + 2}
ight) cr
& = {m^2} + 8m + 16 - 10{m^2} - 4m + 5m + 2 cr
& = - 9m + 9m + 18 cr
& = - 9mleft( {{m^2} - m - 2}
ight) cr
& = - 9left( {m - 2}
ight)left( {m + 1}
ight) cr
& Delta ' ge 0 Rightarrow - 9left( {m - 2}
ight)left( {m + 1}
ight) ge 0 Leftrightarrow left( {m - 2}
ight)left( {m + 1}
ight) le 0 cr} )
( Rightarrow left{ {matrix{
{m - 2 ge 0} cr
{m + 1 le 0} cr} }
ight.) hoặc
(left{ {matrix{
{m - 2 le 0} cr
{m + 1 ge 0} cr} }
ight.)
(left{ {matrix{
{m - 2 ge 0} cr
{m + 1 le 0} cr
} Leftrightarrow left{ {matrix{
{m ge 2} cr
{m le - 1} cr} }
ight.}
ight.)
vô nghiệm
(left{ {matrix{
{m - 2 le 0} cr
{m + 1 ge 0} cr
} Leftrightarrow left{ {matrix{
{m le 2} cr
{m ge - 1} cr} Leftrightarrow - 1 le m le 2}
ight.}
ight.)
Vậy với -1 ≤ m ≤ 2 thì phương trình (1) có nghiệm.
b) Phương trình có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét ta có:
({x_1} + {x_2} = {{2left( {m + 4} ight)} over {2m - 1}};{x_1}{x_2} = {{5m + 2} over {2m - 1}})
c) Đặt ({x_1} + {x_2} = S;{x_1}{x_2} = P)
(S = {{2m + 8} over {2m - 1}} Leftrightarrow 2mS - S = 2m + 8 Leftrightarrow 2mleft( {S - 1} ight) = S + 8)
Ta có:
(eqalign{
& 2m + 8
e 2m - 1 Rightarrow S
e 1 cr
& Rightarrow m = {{S + 8} over {2left( {S - 1}
ight)}} cr} )
Thay vào biểu thức P ta có:
(eqalign{
& P = {{5.{{S + 8} over {2left( {S - 1}
ight)}} + 2} over {2.{{S + 8} over {2left( {S - 1}
ight)}} - 1}} = {{5S + 40 + 4S - 4} over {2S + 16 - 2S + 2}} = {{9S + 36} over {18}} = {{S + 4} over 2} cr
& Rightarrow 2P = S + 4 Rightarrow 2P - S = 4 cr
& Rightarrow 2{x_1}{x_2} - left( {{x_1} + {x_2}}
ight) = 4 cr} )
Biểu thức không phụ thuộc vào m
Sachbaitap.com
