Câu 5 trang 41 SGK Đại số và giải tích 11: Ôn tập chương I – Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác...

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a) (2cos^2x – 3cosx + 1 = 0)

b) (25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25)

c) (2 sin x + cosx = 1)

d) (sinx + 1,5 cotx = 0)

Giải

a) (2cos^2x – 3cosx + 1 = 0)

Đặt (t = cosx) với điều kiện (-1 ≤ x ≤ 1), ta được phương trình bậc hai theo (t):

(2{t^2} – 3t + 1 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = 1 hfill cr
t = {1 over 2} hfill cr} ight.)

Với (t = 1), ta có:

(cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ mathbb{Z})

Với (t = {1 over 2}) ta có:

(eqalign{
& cos x = {1 over 2} = cos {pi over 3} cr
& Leftrightarrow x = pm {pi over 3} + k2pi ,k in mathbb{Z}cr} )

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: (x = k2pi ,x =  pm {pi  over 3} + k2pi ,k in mathbb{Z})

b) Ta có:

(25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25)

(⇔ 25(1-cos^2x) + 30sinxcosx + 9cos^2x= 25)

(⇔ -25 cos^2x + 30sinxcosx + 9cos^2x = 0)

(⇔ -16cos^2x + 30sinxcosx = 0)

(eqalign{
& Leftrightarrow – 2cos x(8cos x – 15sin x) = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
cos x = 0 hfill cr
8cos x – 15sin x = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
cos x = 0 hfill cr
an x = {8 over {15}} hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 2} + kpi hfill cr
x = arctan {8 over {15}} + kpi hfill cr} ight,k in mathbb{Z} cr} )

c) Chia cả hai vế của phương trình cho (sqrt {{a^2} + {b^2}}  = sqrt {4 + 1}  = sqrt 5 ) , ta được:

({2 over {sqrt 5 }}sin x + {1 over {sqrt 5 }}cos x = {1 over {sqrt 5 }})(*) 

Vì ({({2 over {sqrt 5 }})^2} + {({1 over {sqrt 5 }})^2} = 1) nên tồn tại một góc (α) thỏa mãn: 

(left{ matrix{
sin alpha = {2 over {sqrt 5 }} hfill cr
cos alpha = {1 over {sqrt 5 }} hfill cr} ight.)

Khi đó, phương trình (*) trở thành:

(eqalign{
& sin alpha {mathop{ m sinx} olimits} + cos alpha cos x = cos alphacr
& Leftrightarrow cos (x – alpha ) = cos alpha cr
& Leftrightarrow x – alpha = pm alpha + k2pi cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = 2alpha + k2pi hfill cr
x = k2pi hfill cr} ight.;k in mathbb{Z}cr} )

d) Điều kiện (sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ mathbb{Z}).

Phương trình đã cho biến đổi:

(eqalign{
& sin x + {3 over 2}.{{cos x} over {sin x}}=0 Leftrightarrow 2{sin ^2}x + 3cos x = 0 cr
& Leftrightarrow 2(1 – {cos ^2}x) + 3cos x = 0 cr
& Leftrightarrow 2{cos ^2}x – 3cos x – 2 = 0 cr} )

(*)

Đặt (t = cosx) với điều kiện (-1 < t < 1)

Khi đó, phương trình (*) trở thành:

(2{t^2} – 3t – 2 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = 2 hfill ext{(loại)} cr
t = {{ – 1} over 2} hfill cr} ight.)

Với  (t = {{ – 1} over 2})

(eqalign{
& t = {{ – 1} over 2} Rightarrow cos x = {{ – 1} over 2} = cos {{2pi } over 3} cr
& Leftrightarrow x = pm {{2pi } over 3} + k2pi ,k in mathbb{Z} cr} )