Bài 6 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11: Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm...

Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol (y =  frac{1}{x}):

a) Tại điểm ((  frac{1}{2} ; 2))

b) Tại điểm có hoành độ bằng (-1);

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -( frac{1}{4}).

Giải:

Bằng định nghĩa ta tính được (y’ = – frac{1}{x^{2}}).

a) (y’  left ( frac{1}{2} ight )= -4). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng (-4). Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm ((  frac{1}{2} ; 2)) là (y – 2 = -4(x –  frac{1}{2})) hay (y = -4x + 4).

b) (y’ (-1) = -1). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng (-1). Ngoài ra, ta có (y(-1) = -1). Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ là (-1) là (y – (-1) = -[x – (-1)]) hay (y = -x – 2).

c) Gọi (x_0) là hoành độ tiếp điểm. Ta có

(y’ (x_0) = –  frac{1}{4} Leftrightarrow –  frac{1}{x_{0}^{2}} = –  frac{1}{4})(Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 Leftrightarrow x_{0}=  ±2).

Với (x_{0}= 2) ta có (y(2) =  frac{1}{2}), phương trình tiếp tuyến là

     (y –  frac{1}{2} = – frac{1}{4}(x – 2)) hay (y =  frac{1}{4}x + 1).

Với (x_{0} = -2) ta có (y (-2) = – frac{1}{2}), phương trình tiếp tuyến là

    (y –  left ( -frac{1}{2} ight ) = – frac{1}{4}[x – (-2)]) hay (y = –  frac{1}{4}x -1)