Bài 7 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11: Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác...

Bài 7. Giải phương trình (f'(x) = 0), biết rằng:

a) (f(x) = 3cos x + 4sin x + 5x);

b) (f(x) = 1 – sin(π + x) + 2cos left ( frac{2pi +x}{2} ight )).

Lời giải:

a) (f'(x) = – 3sin x + 4cos x + 5). Do đó

(f'(x) = 0 Leftrightarrow – 3sin x + 4cos x + 5 = 0 Leftrightarrow3 sin x – 4cos x = 5)

            (Leftrightarrow frac{3}{5}sin x –  frac{4}{5} cos x = 1).    (1)

Đặt (cos φ =  frac{3}{5}), (left(φ ∈ left ( 0;frac{pi }{2} ight ) ight ) Rightarrow sin φ =  frac{4}{5}), ta có:

(1)   (Leftrightarrow sin x.cos φ – cos x.sin φ = 1   Leftrightarrow sin(x – φ) = 1)

  (Leftrightarrow x – φ =  frac{pi }{2} + k2π   Leftrightarrow x = φ + frac{pi }{2} + k2π, k ∈ mathbb Z).

b) (f'(x) = – cos(π + x) – sin left (pi + frac{x}{2} ight ) = cos x + sin  frac{x }{2})

(f'(x) = 0 Leftrightarrow cos x +  sin frac{x }{2} = 0 Leftrightarrow sin frac{x }{2} = – cosx)

(Leftrightarrow sin frac{x }{2} = sin left (x-frac{pi}{2} ight ))

(Leftrightarrow frac{x }{2}= x-frac{pi}{2}+ k2π)  hoặc ( frac{x }{2} = π – x+frac{pi}{2}+ k2π) 

(Leftrightarrow x = π – k4π)  hoặc (x = π + k frac{4pi }{3}),  ((k ∈ mathbb Z)).