Bài 6 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11: Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác...

Bài 6. Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc (x):

a) (sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x);

b) ({cos ^2}left ( frac{pi }{3}-x ight )+ {cos ^2} left ( frac{pi }{3}+x ight ) +  {cos ^2}left ( frac{2pi }{3}-x ight )) (+{cos ^2}  left ( frac{2pi }{3}+x ight )-2sin^2x).

Lời giải:

a) Ta có:

(y’ = 6{sin ^5}x.cos x – 6{cos ^5}x.sin x + 6sin x.cos^3x –  6{sin ^3}x.cos x)

(= 6{sin ^3}x.cos x(sin^2 x – 1) + 6sin x.cos^3 x(1 – {cos ^2}x))

(=  – 6{sin ^3}x.cos^3 x + 6{sin ^3}x.cos^3 x = 0).

Vậy (y’ = 0) với mọi (x), tức là (y’) không phụ thuộc vào (x).

 b)

(y = {{1 + cos left( {{{2pi } over 3} – 2x} ight)} over 2} + {{1 + cos left( {{{2pi } over 3} + 2x} ight)} over 2} + {{1 + cos left( {{{4pi } over 3} – 2x} ight)} over 2} )

          (+ {{1 + cos left( {{{4pi } over 3} + 2x} ight)} over 2} – 2{sin ^2}x)

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta được

(y’ =sin left ( frac{2pi }{3}-2x ight ) – sin left ( frac{2pi }{3}+2x ight )+ sin left ( frac{4pi }{3}-2x ight ) – sin left ( frac{4pi }{3}+2x ight ))

(- 2sin 2x = 2cos frac{2pi }{3}.sin(-2x) + 2cos frac{4pi }{3}. sin (-2x) – 2sin 2x )

(= sin 2x + sin 2x – 2sin 2x = 0),

vì (cos frac{2pi }{3}) = (cos frac{4pi }{3}) = ( -frac{1}{2}).

Vậy (y’ = 0) với mọi (x), do đó (y’) không phụ thuộc vào (x).