Bài 2 trang 168 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11: Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác...

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

a) (y'<0) với ({{{x^2} + x + 2} over {x – 1}})

b) (y’≥0) với (y =  frac{x^{2}+3}{x+1});

c) (y’>0) với (y =  frac{2x-1}{x^{2}+x+4}).

Lời giải:

a) Ta có ( y’=frac{(x^{2}+x+2)’.(x-1)-(x^{2}+x+2).(x-1)’}{(x-1)^{2}}) = ( frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}})

Do đó, (y'<0Leftrightarrow  frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}})

( Leftrightarrow left{ matrix{
x e 1 hfill cr
– 1 < x < 3 hfill cr} ight. Leftrightarrow )(x∈ (-1;1) ∪ (1;3)).

b) Ta có ( y’=frac{(x^{2}+3)’.(x+1)-(x^{2}+3).(x+1)’}{(x+1)^{2}}) = ( frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}).

Do đó, (y’≥0 Leftrightarrow   frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}≥0 )

( Leftrightarrow left{ matrix{
x e – 1 hfill cr
left[ matrix{
x ge 1 hfill cr
x le – 3 hfill cr} ight. hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x ge 1 hfill cr
x le – 3 hfill cr} ight. Leftrightarrow x∈ (-∞;-3] ∪ [1;+∞)).

c).Ta có ( y’=frac{(2x-1)’.(x^{2}+x+4)-(2x-1).(x^{2}+x+4)’}{(x^{2}+x+4)}=frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)}).

Do đó, (y’>0  Leftrightarrow  frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)} >0Leftrightarrow  -2x^2+2x +9>0 )(Leftrightarrow    frac{1-sqrt{19}}{2} < x <  frac{1+sqrt{19}}{2}Leftrightarrow   x∈  left ( frac{1-sqrt{19}}{2};frac{1+sqrt{19}}{2} ight ))

Vì (x^2+x +4 =) ( left ( x+frac{1}{2} ight )^{2})+ ( frac{15}{4} >0), với (∀ x ∈ mathbb R).