Câu 5 trang 192 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Viết phương trình tiếp tuyến...

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (y = {x^3},) biết

a. Tiếp điểm có hoành độ bằng -1

b. Tiếp điểm có tung độ bằng 8

c. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Giải:

a. Ta có:

(eqalign{  & {x_0} =  – 1;{y_0} = {left( { – 1} ight)^3} =  – 1  cr  & fleft( {{x_0}} ight) = mathop {lim }limits_{Delta x o 0} {{fleft( {{x_0} + Delta x} ight) – fleft( {{x_0}} ight)} over {Delta x}}  cr  &  = mathop {lim }limits_{Delta x o 0} {{{{left( {{x_0} + Delta x} ight)}^3} – x_0^3} over {Delta x}}  cr  &  = mathop {lim }limits_{Delta x o 0} {{3x_0^2Delta x + 3{x_0}(Delta x)^2 + {Delta ^3}x} over {Delta x}}  cr  &  = mathop {lim }limits_{Delta x o 0} left( {3x_0^2 + 3{x_0}Delta x + {Delta ^2}x} ight) = 3x_0^2 cr} )

Với x₀ = -1 ta có (f’(-1) = 3{left( { – 1} ight)^2} = 3)

Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại tiếp điểm có hoành độ bằng -1 là :

(y – left( { – 1} ight) = 3left( {x + 1} ight) Leftrightarrow y = 3x + 2)

b. Với ({y_0} = 8 = x_0^3 Rightarrow {x_0} = 2)

(f’left( 2 ight) = {3.2^2} = 12)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

(y – 8 = 12left( {x – 2} ight) Leftrightarrow y = 12x – 16)

c. Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm ta có :

(f’left( {{x_0}} ight) = 3 Leftrightarrow 3x_0^2 = 3 Leftrightarrow {x_0} =  pm 1)

Với x₀ = 1 ta có y₀ = 1 và phương trình tiếp tuyến là :

(y – 1 = 3left( {x – 1} ight),hay,y = 3x – 2)

Với x­­₀ = -1 ta có y₀ = -1 và phương trình tiếp tuyến là :

(y -(- 1) = 3left( {x + 1} ight),hay,y = 3x + 2)