Câu 5.41 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số

Cho hàm số

             (fleft( x ight) = left{ matrix{{x^2},,,,,khi,,,x ge 0 hfill cr - {x^3} + bx + c,,,khi,,x > 0 hfill cr}  ight.)

a) Tìm điều kiện của b và c để (fleft( x ight)) liên tục tại ({x_0} = 0)

b) Xác định b và c để (fleft( x ight)) có đạo hàm tại ({x_0} = 0) và tính (f'left( 0 ight))

Giải

a) Hàm số liên tục tại điểm (x = 0) nếu (mathop {lim }limits_{x o 0} fleft( x ight) = fleft( 0 ight)) hay

(mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} fleft( x ight) = fleft( 0 ight))

ta có

 (eqalign{& mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} {x^2} = 0  cr& mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} left( { - {x^3} + bx + c} ight) = c  cr& fleft( 0 ight) = {0^2} = 0 cr} )

Vậy hàm số liên tục tại điểm (x = 0) nếu (c = 0) còn b tùy ý.

b) Hàm số có đạo hàm tại điểm (x = 0) thì nó liên tục tại điểm đó ( suy ra (c = 0)) và có giới hạn hữu hạn

            (mathop {lim }limits_{x o 0} {{fleft( x ight) - fleft( 0 ight)} over {x - 0}},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 1 ight))

Ta có

(eqalign{& mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} {{fleft( x ight) - fleft( 0 ight)} over {x - 0}} = mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} {{fleft( x ight)} over x} = mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} {{{x^2}} over x}cr& = mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} x = 0  cr& mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{fleft( x ight) - fleft( 0 ight)} over {x - 0}} = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{fleft( x ight)} over x} cr&= mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{ - {x^3} + bx} over x}  cr&  = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} left( { - {x^2}} ight) + mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} b = b cr} )

Để tồn tại giới hạn hữu hạn (1) thì ta phải có

                        (mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} {{fleft( x ight) - fleft( 0 ight)} over {x - 0}} = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{fleft( x ight) - fleft( 0 ight)} over {x - 0}})

Suy ra (b = 0)

Vậy hàm số có đạo hàm tại (x = 0) khi và chỉ khi (b = c = 0). Khi đó, ta có (f'left( 0 ight) = 0)

Sachbaitap.com