Câu 5.1* trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Giải các phương trình

Giải các phương trình

a. ({2 over {x + {1 over {1 + {{x + 1} over {x - 2}}}}}} = {6 over {3x - 1}})

b. ({{{{x + 1} over {x - 1}} - {{x - 1} over {x + 1}}} over {1 + {{x + 1} over {x - 1}}}} = {{x - 1} over {2left( {x + 1} ight)}})

c. ({5 over x} + {4 over {x + 1}} = {3 over {x + 2}} + {2 over {x + 3}})

Giải:

a. Ta có: (x + {1 over {1 + {{x + 1} over {x - 2}}}} = x + {{x - 2} over {2x - 1}} = {{2left( {{x^2} - 1} ight)} over {2x - 1}})

ĐKXĐ của phương trình là (x e 2,x e {1 over 2},x e  pm 1,x e {1 over 3}). Ta biến đổi phương trình đã cho thành

({{2x - 1} over {{x^2} - 1}} = {6 over {3x - 1}}). Khử mẫu và rút gọn:

(eqalign{  & left( {2x - 1} ight)left( {3x - 1} ight) = 6left( {{x^2} - 1} ight)  cr  &  Leftrightarrow  - 5x + 1 =  - 6  cr  &  Leftrightarrow x = {7 over 5} cr} )

Giá trị (x = {7 over 5}) thỏa mãn ĐKXĐ.  Vậy phương trình có nghiệm là (x = {7 over 5})

b. Cách 1. ĐKXĐ: (x e  pm 1). Biến đổi vế trái thành ({{4x} over {{x^2} - 1}}.{{x - 1} over {2x}} = {2 over {x + 1}}), ta đưa phương trình đã cho về dạng ({2 over {x + 1}} = {{x - 1} over {2left( {x + 1} ight)}}).

Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

(eqalign{  & 4left( {x + 1} ight) = left( {x - 1} ight)left( {x + 1} ight)  cr  &  Leftrightarrow left( {x + 1} ight)left( {x - 5} ight) = 0 cr} )

( Leftrightarrow x =  - 1) hoặc (x = 5)

Trong hai giá trị vừa tìm được, chỉ có x = 5 là thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5.

Cách 2. Đặt ({{x + 1} over {x - 1}} = y), ta có phương trình ({{y - {1 over y}} over {1 + y}} = {1 over {2y}}). ĐKXĐ của phương trình này là (y e 0) và (y e  - 1). Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

(eqalign{  & 2{y^2} - 2 = 1 + y  cr  &  Leftrightarrow 2left( {{y^2} - 1} ight) - left( {y + 1} ight) = 0  cr  &  Leftrightarrow left( {y + 1} ight)left( {2y - 3} ight) = 0 cr} )

( Leftrightarrow y =  - 1) hoặc (y = {3 over 2})

Trong hai giá trị tìm được, chỉ có (y = {3 over 2}) là thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình ({{x + 1} over {x - 1}} = {3 over 2})

Giải phương trình này ta được x = 5

c. ĐKXĐ: (x in left{ {0; - 1; - 2; - 3} ight}). Ta biến đổi phương trình như sau:

(eqalign{  & {5 over x} + {2 over {x + 3}} = {4 over {x + 1}} + {3 over {x + 2}}  cr  &  Leftrightarrow left( {{5 over x} + 1} ight) + left( {{2 over {x + 3}} + 1} ight) = left( {{4 over {x + 1}} + 1} ight) + left( {{3 over {x + 2}} + 1} ight)  cr  &  Leftrightarrow {{5 + x} over x} + {{5 + x} over {x + 3}} = {{5 + x} over {x + 1}} + {{5 + x} over {x + 2}}  cr  &  Leftrightarrow left( {5 + x} ight)left( {{1 over x} + {1 over {x + 3}} - {1 over {x + 1}} - {1 over {x + 2}}} ight) = 0  cr  &  Leftrightarrow 5 + x = 0(1) cr} )

hoặc ({1 over x} + {1 over {x + 3}} - {1 over {x + 1}} - {1 over {x + 2}} = 0)  (2)

Ta có:

(1) ( Leftrightarrow x =  - 5)

(2) (eqalign{  &  Leftrightarrow {1 over x} + {1 over {x + 3}} = {1 over {x + 1}} + {1 over {x + 2}}  cr  &  Leftrightarrow {{2x + 3} over {xleft( {x + 3} ight)}} = {{2x + 3} over {left( {x + 1} ight)left( {x + 2} ight)}}  cr  &  Leftrightarrow left( {2x + 3} ight)left( {{1 over {{x^2} + 3x}} - {1 over {{x^2} + 3x + 2}}} ight) = 0 cr} )

( Leftrightarrow 2x + 3 = 0) hoặc ({1 over {{x^2} + 3x}} - {1 over {{x^2} + 3x + 2}} = 0)

+ (2x + 3 = 0 Leftrightarrow x =  - {3 over 2})

+ ({1 over {{x^2} + 3x}} - {1 over {{x^2} + 3x + 2}} = 0). Dễ thấy phương trình này vô nghiệm.

Tóm lại, phương trình đã cho có tập nghiệm là S = (left{ { - 5; - {3 over 2}} ight})