Câu 43 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho.

Cho phương trình ({x^2} + px - 5 = 0) có nghiệm là x₁, x₂. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a) –x₁ và –x₂

b) ({1 over {{x_1}}}) và ({1 over {{x_2}}})

Giải

Phương trình: ({x^2} + px - 5 = 0) có hai nghiệm x₁ và x₂. Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(eqalign{
& {x_1} + {x_2} = - {p over 1} = - p cr
& {x_1}{x_2} = {{ - 5} over 1} = - 5 cr} )    (1)

a) Hai số -x₁ và –x₂ là nghiệm của phương trình:

(eqalign{
& left[ {x - left( { - {x_1}} ight)} ight]left[ {x - left( { - {x_2}} ight)} ight] = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} - left( { - {x_2}x} ight) - left( { - {x_1}x} ight) + left( { - {x_1}} ight)left( { - {x_2}} ight) = 0 cr
& Leftrightarrow {x_2} + left( {{x_1} + {x_2}} ight)x + {x_1}{x_2} = 0(2) cr} )

Từ (1) và (2) phương trình phải tìm: ({x^2} - px - 5 = 0)

b) Hai số ({1 over {{x_1}}}) và ({1 over {{x_2}}}) là nghiệm của phương trình:

(eqalign{
& left( {x - {1 over {{x_1}}}} ight)left( {x - {1 over {{x_2}}}} ight) = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} - {1 over {{x_2}}}x - {1 over {{x_1}}}x + {1 over {{x_1}}}.{1 over {{x_2}}} = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} - left( {{1 over {{x_1}}} + {1 over {{x_2}}}} ight)x + {1 over {{x_1}{x_2}}} = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} - {{{x_1} + {x_2}} over {{x_1}{x_2}}}x + {1 over {{x_1}{x_2}}} = 0(3) cr} )

Từ (1) và (3) suy ra phương trình phải tìm:

(eqalign{
& {x^2} - {{ - p} over { - 5}}x + {1 over { - 5}} = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} - {p over 5}x - {1 over 5} = 0 cr
& Leftrightarrow 5{x^2} - px - 1 = 0 cr} )

Sachbaitap.com