Câu 4.74 trang 148 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy số xác định bởi ...
Cho dãy số xác định bởi
Cho dãy số (left( {{u_n}} ight)) xác định bởi
(left{ matrix{
{u_1} = a hfill cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} over {sqrt {u_n^2 + 1} }} - 1 hfill cr}
ight.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1))
Trong đó ( - 1 < a < 0.)
a) Chứng minh rằng ( - 1 < {u_n} < 0.) với mọi n và (left( {{u_n}} ight)) là một dãy số giảm.
b) Chứng minh rằng
( - 1 < {u_{n + 1}} + 1 le {1 over {sqrt {{a^2} + 1} }}left( {{u_n} + 1} ight)) với mọi n.
c) Tìm (mathop {lim }limits_{x o infty } {u_n}.)
Giải
a) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Theo giả thiết, điều khẳng định đúng với (n = 1.) Giả sử điều khẳng định đúng với n , tức là
( - 1 < {u_n} < 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2))
Ta chứng minh nó đúng với (n + 1.) Thật vậy, từ (2) suy ra
(0 < {u_{n + 1}} + 1 < 1,;,)
Do đó
(0 < {{{u_n} + 1} over {sqrt {u_n^2 + 1} }} < 1)
Và
( - 1 < {{{u_n} + 1} over {sqrt {u_n^2 + 1} }} - 1 < 0,)
Tức là
( - 1 < {u_{n + 1}} < 0.,)
Vì ( - 1 < {u_n} < 0) nên ({u_{n }} +1> 0) và (u_n^2 > 0) với mọi n . Do đó từ (1) suy ra ({u_{n + 1}} < left( {{u_n} + 1} ight) - 1 = {u_n}) với mọi n.
Vậy (left( {{u_n}} ight)) là một dãy số giảm.
b) Từ đẳng thức (1) suy ra
({u_{n + 1}} + 1 = {1 over {sqrt {u_n^2 + 1} }}left( {{u_n} + 1} ight)) với mọi n.
Từ đó suy ra
(left| {{u_n}} ight| ge left| a ight| Leftrightarrow u_n^2 ge {a^2};)
Do đó
({1 over {sqrt {u_n^2 + 1} }} le {1 over {sqrt {{a^2} + 1} }}) với mọi n
Và từ (3), ta có
({u_{n + 1}} + 1 le {1 over {sqrt {{a^2} + 1} }}left( {{u_n} + 1} ight)) với mọi n.
Đặt ({v_n} = {u_n} + 1) và (q = {1 over {sqrt {{a^2} + 1} }},) ta có (0 < q < 1,{v_n} > 0) và
({v_{n + 1}} le q{v_n}) với mọi n.
Từ đó ta có
(eqalign{
& {v_2} le {v_1}q = left( {a + 1}
ight)q, cr
& {v_3} le {v_2}q = left( {a + 1}
ight){q^2},..., cr
& 0 le {v_n} le left( {a + 1}
ight){q^{n - 1}} cr} )
Với mọi n . Vì (lim left( {a + 1} ight).{q^{n - 1}} = left( {a + 1} ight)lim {q^{n - 1}} = 0) nên từ đó suy ra
(lim {v_n} = 0) và (lim {u_n} = - 1.)
zaidap.com
