Câu 4.75 trang 149 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho số thực a và dãy số

Cho số thực a và dãy số (left( {{u_n}} ight)) xác định bởi

           ({u_1} = a,,,,,,,,,,,,,,,{u_{n + 1}} = 1 + {{{u_n}} over 2}.)

Tìm (lim {u_n}.)

Giải

Ta có (,{u_2} = 1 + {a over 2},,{u_3} = 1 + {{{u_2}} over 2} = 1 + {1 over 2} + {a over {{2^2}}}.)

Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng chứng minh được rằng:

(,,{u_n} = 1 + {1 over 2} + {1 over {{2^2}}} + ... + {1 over {{2^{n - 2}}}} + {a over {{2^{n - 1}}}},) với mọi (n ge 3.)

Do đó ({u_n} = {{1 - {1 over {{2^{n - 1}}}}} over {1 - {1 over 2}}} + {a over {{2^{n - 1}}}} = 2 - {1 over {{2^{n - 2}}}} + {a over {{2^{n - 1}}}},)  với mọi (n ge 3.)

Vậy (lim {u_n} = 2.)                       

Sachbaitap.com