Câu 4.72 trang 148 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm giới hạn của các dãy số

Tìm giới hạn của các dãy số (left( {{u_n}} ight)) với

a)({u_n} = sqrt {{{{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}} over {left( {{n^2} + n} ight)left( {n + 2} ight)}}} )          b)({u_n} = {{{1^3} + {2^3} + ... + {n^3}} over {sqrt {{n^7} + 3{n^4} + 1} }})

c) ({u_n} = oot 3 of {n - 2{n^3}} )                c) ({u_n} = {2^n} - {4.3^{n + 1}})

d) ({u_n} = 100n - {2.5^n})             f) ({u_n} = {{{3^n} - {4^{n + 1}}} over {{2^{2n}} + {{10.3}^n} + 7}}.)

Giải

a) ({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = {{nleft( {n + 1} ight)left( {2n + 1} ight)} over 6})

(lim {u_n} = lim sqrt {{{nleft( {n + 1} ight)left( {2n + 1} ight)} over {6nleft( {n + 1} ight)left( {n + 2} ight)}}}  = {{sqrt 3 } over 3})

b) ({1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = {{{n^2}{{left( {n + 1} ight)}^2}} over 4};)

(lim {u_n} = lim {{{n^2}{{left( {n + 1} ight)}^2}} over {4sqrt {{n^7} + 3{n^4} + 1} }} = lim {{{{left( {1 + {1 over n}} ight)}^2}} over {4sqrt {{1 over n} + {3 over {{n^4}}} + {1 over {{n^8}}}} }} =  + infty )

c) (lim {u_n} = {mathop{ m limn} olimits} . oot 3 of {{1 over {{n^2}}} - 2}  =  - infty )

d) ({u_n} = {3^n}left[ {{{left( {{2 over 3}} ight)}^n} - 12} ight])  với mọi n ;

( lim u_n =- infty ;)

e) ({u_n} = {5^n}left( {{{100n} over {{5^n}}} - 2} ight)) với mọi n.

Nếu (q > 1)  thì(lim {n over {{q^n}}} = 0.) Do đó (lim {n over {{5^n}}} = 0.) Vì (lim {5^n} =  + infty )  và (lim left( {{{100n} over {{5^n}}} - 2} ight) =  - 2 < 0) nên

                      (lim {u_n} =  - infty ;)

f) Ta có ({2^{2n}} = {4^n}.)  Do đó

                    ({u_n} = {{{{left( {{3 over 4}} ight)}^n} - 4} over {1 + 10{{left( {{3 over 4}} ight)}^n} + {7 over {{4^n}}}}}) với mọi n.

Do đó   (lim {u_n} =  - 4.)

Sachbaitap.com