Câu 4.78 trang 149 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm dương.

a) Chứng minh rằng phương trình

                        ({x^3} - 10000{x^2} - {1 over {100}} = 0)

Có ít nhất một nghiệm dương.

b) Chứng minh rằng mọi số thực a, b , c , phương trình

                        ({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0)

Có ít nhất một nghiệm.

Giải

a) Hàm số (fleft( x ight) = {x^3} - 10000{x^2} - {1 over {100}})  liên tục trên R (fleft( 0 ight) =  - {1 over {100}} < 0.) Vì (mathop {lim }limits_{x o  + infty } fleft( x ight) =  + infty ) nên với một số dương b đủ lớn, ta có (fleft( b ight) > 0.)  Vì (fleft( 0 ight)fleft( b ight) < 0) nên , theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực (c in left( {0;b} ight))  sao cho (fleft( c ight) = 0.)

Vậy (x = c)  là mmotj nghiệm dương của phương trình đã cho.

b) Hàm số (fleft( x ight) = {x^3} + a{x^2} + bx + c) liên tục trên R ;

(mathop {lim }limits_{x o  - infty } fleft( x ight) =  - infty )  và (mathop {lim }limits_{x o  + infty } fleft( x ight) =  + infty .)

Do đó tồn tại giá trị (x_1in R) sao cho (f(x_1)<0) và giá trị (x_2in R) sao cho (f(x_2)>0)

Khi đó ta có: (f(x_1).f(x_2)<0) theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực (c in R)  sao cho (fleft( c ight) = 0.)

Sachbaitap.com