Câu 4.73 trang 148 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy số xác định bởi ...
Cho dãy số xác định bởi
Cho dãy số (left( {{u_n}} ight)) xác định bởi
(left{ matrix{
{u_1} = 1 hfill cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} - 4} over {{u_n} + 6}} hfill cr}
ight.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1))
a) Chứng minh rằng ({u_n} e - 4) với mọi n.
b) Gọi (left( {{v_n}} ight)) là dãy số xác định bởi
({v_n} = {{{u_n} + 1} over {{u_n} + 4}}.)
Chứng minh rằng (left( {{v_n}} ight)) là một cấp số nhân. Từ đó tìm giới hạn của dãy (left( {{u_n}} ight)).
Giải
a) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp . Ta có ({u_1} = 1 e - 4.)
Giả sử ({u_n} e - 4). Ta chứng minh ({u_{n + 1}} e - 4.) Thật vậy,
({u_{n + 1}} = - 4 Leftrightarrow {{{u_n} - 4} over {{u_n} + 6}} = - 4)
(Leftrightarrow left{ matrix{
{u_n}
e - 6 hfill cr
{u_n} - 4 = - 4left( {{u_n} + 6}
ight) hfill cr}
ight.)
(Leftrightarrow {u_n} = - 4.)
Điều này trái với với giả thiết quy nạp.
b) ({v_{n + 1}} = {{{u_{n + 1}} + 1} over {{u_{n + 1}} + 4}} = {{{{{u_n} - 4} over {{u_n} + 6}} + 1} over {{{{u_n} - 4} over {{u_n} + 6}} + 4}} = {{2{u_n} + 2} over {5{u_n} + 20}} = {2 over 5}.{u_n+1over u_n+4}= {2 over 5}{v_n}) với mọi n.
Vậy dãy số (left( {{v_n}} ight)) là một cấp số nhân với công bội (q = {2 over 5}.) Đó là một cấp số nhân lùi vô hạn.
Vì ({v_n} = {v_1}{left( {{2 over 5}} ight)^{n - 1}}) với mọi n nên (lim {v_n} = 0.)
Từ đẳng thức trong b) suy ra ({u_n} = {{4{v_n} - 1} over {1 - {v_n}}}.) Do đó
(lim {u_n} = - 1.)
Sachbaitap.com
