Câu 4.63 trang 145 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh

Cho hàm số (f:left[ {0;1} ight] o left[ {0;1} ight]) liên tục. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực (c in left[ {0;1} ight]) sao cho (fleft( c ight) = c.)

Giải          

Nếu (fleft( 0 ight) = 0) hoặc (fleft( 1 ight) = 1) thì hiển nhiên điều khẳng định là đúng.

Giả sử (fleft( 0 ight)  e 0) và (fleft( 1 ight) e 1.) Xét hàm số (gleft( x ight) = fleft( x ight) - x,x in left[ {0;1} ight].)  Hàm số (g)  liên tục trên đoạn (left[ {0;1} ight].) Vì mọi (x in left[ {0;1} ight],0 le fleft( x ight) le 1) nên (fleft( 0 ight) > 0)  và (fleft( 1 ight) < 1.) Do đó

(gleft( 0 ight) = fleft( 0 ight) - 0 > 0)  và (gleft( 1 ight) = fleft( 1 ight) - 1 < 0.)

Vì (gleft( 0 ight),gleft( 1 ight) < 1) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực (c in left( {0;1} ight)) sao cho (gleft( c ight) = fleft( c ight) - c = 0,) tức là (fleft( c ight) = c.)

Sachbaitap.com