Câu 4.56 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

a) Trong mặt phẳng phức cho điểm A biểu diễn số phức

a) Trong  mặt phẳng phức cho điểm A biểu diễn số phức (omega ). Chứng minh rằng phép biến đổi của mặt phẳng phức biến điểm biểu diễn số phức z tùy ý thành biểu diễn số phức z’ sao cho (z' - omega  = ileft( {z - omega } ight)) là phép quay tâm A góc quay ({pi  over 2})

b) Giả sử ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số (alpha ,eta ,gamma ). Gọi P, Q theo thứ tự là tâm các hình vuông dựng bên ngoài ABC trên các cạnh AB, AC và gọi N là trung điểm của BC. Tìm các số phức biểu diễn bởi các vectơ (overrightarrow {NQ} ,overrightarrow {NP} ) rồi chứng minh NQP là tam giác vuông cân.

Giải

a) M là điểm biểu diễn số phức z, M’ là điểm biểu diễn số phức z’.

Khi M trùng với A tức là (z = omega ) thì (z' = omega ) nên A biến thành chính nó. Khi M không trung với A thì (left| {overrightarrow {AM'} } ight| = left| {z' - omega } ight| = left| i ight|left| {z - omega } ight| = left| {z - omega } ight| = left| {overrightarrow {AM} } ight|) và một acgumen của ({{z' - omega } over {z - omega }} = i) là số đo góc lượng giác (AM,AM') nên góc này là ({pi  over 2}). Từ đó phép biến đổi đang xét là phép quay tâm A, góc quay  ({pi  over 2})

b) (h.4.15) Giả sử ta đi dọc chu vi tam giác ABC theo ngược chiều quay kim đồng hồ. Khi đó Q là ảnh của C qua phép quay tâm là trung điểm của CA góc quay ({pi  over 2}) nên nếu kí hiệu q là số phức biểu diễn bởi điểm Q thì theo câu a) ta có

(q - {{gamma  + alpha } over 2} = ileft( {gamma  - {{gamma  + alpha } over 2}} ight))

Từ đó

(q = {1 over 2}left[ {left( {1 + i} ight)gamma  + left( {1 - i} ight)alpha } ight])

Đổi (alpha ) thành (eta ), (gamma ) thành (alpha ), ta suy ra p biểu diễn bởi P là

(p = {1 over 2}left[ {left( {1 + i} ight)alpha  + left( {1 - i} ight)eta } ight])

Vậy (overrightarrow {NP} ) biểu diễn số phức (p - {1 over 2}left( {eta  + gamma } ight) = {1 over 2}left[ {left( {1 + i} ight)alpha  - ieta  - gamma } ight]) và (overrightarrow {NQ} ) biểu diễn số phức

(q - {1 over 2}left( {eta  + gamma } ight) = {1 over 2}left[ {left( {1 - i} ight)alpha  - eta  + igamma } ight]). Rõ  ràng (i,{1 over 2}left[ {left( {1 - i} ight)alpha  - eta  + igamma } ight] = {1 over 2}left[ {left( {1 + i} ight)alpha  - ieta  - gamma } ight]), nên suy ra (NQ = NP) và (overrightarrow {NQ},overrightarrow {NP}  ) vuông góc (h.4.15)

                               

Sachbaitap.com