Câu 4.37 trang 139 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số xác định bởi

Cho dãy số (left( {{u_n}} ight)) xác định bởi

(left{ matrix{
{u_1} = 3 hfill cr
2{u_{n + 1}} = {u_n} + 1 hfill cr} ight.)

Gọi (left( {{v_n}} ight)) là dãy số xác định bởi

                        ({v_n} = {u_n} - 1) với mọi n

a) Chứng minh rằng (left( {{v_n}} ight)) là một cấp số nhân lùi vô hạn.

b) Gọi ({S_n}) là tổng số hạng đầu tiên của dãy số (left( {{u_n}} ight)). Tìm (lim {S_n})

Giải

a) Với mọi n, ta có

({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - 1 = {{{u_n} + 1} over 2} - 1 = {{{u_n} - 1} over 2} = {1 over 2}{v_n}.)        

Vậy dãy số (left( {{v_n}} ight)) là một cấp số nhân với công bội (q = {1 over 2}.)

b) Ta có

(eqalign{
 {S_n}& = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} cr&= left( {{v_1} + 1} ight) + left( {{v_2} + 1} ight) + ... + left( {{v_n} + 1} ight) cr
& = left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_n}} ight) + n = {s_n} + n, cr} )

Trong đó ({s_n}) là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân lùi vô hạn (left( {{v_n}} ight)). Tổng của cấp số nhân (left( {{v_n}} ight)) là

                  (s = lim {s_n} = {{{v_1}} over {1 - q}} = {2 over {1 - {1 over 2}}} = 4.)

Do đó

                     (lim {S_n} = lim left( {{s_n} + n} ight) =  + infty ).

Sachbaitap.com