Câu 4.30 trang 138 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hai dãy số

Cho hai dãy số (left( {{u_n}} ight)) và (left( {{v_n}} ight)). Chứng minh rằng

a) Nếu ({u_n} le {v_n}) với mọi n và (lim {u_n} =  + infty ) thì ({{mathop{ m limv} olimits} _n} =  + infty )                                             

b) Nếu (lim {u_n} = L in R) và (lim left| {{v_n}} ight| =  + infty ) thì (lim {{{u_n}} over {{v_n}}} = 0) 

c) Nếu (lim {u_n} =  + infty ) (hoặc ( - infty )) và  (lim {v_n} = L in R) thì (lim left( {{u_n} + {v_n}} ight) =  + infty ) (hoặc ( - infty ))

Giải          

a) Suy ra từ định nghĩa của dãy số có giới hạn ( + infty )

b) Vì  (lim left| {{v_n}} ight| =  + infty ) nên (lim {1 over {{v_n}}} = 0.) Do đó

(lim {{{u_n}} over {{v_n}}} = lim left( {{u_n}.{1 over {{v_n}}}} ight) = left( {lim {u_n}} ight)lim {1 over {{v_n}}} = L.0 = 0)

c) Giả sử (lim {u_n} =  + infty )và (lim {v_n} = L.) Khi đó

                        ({u_n} + {v_n} = {u_n}left( {1 + {{{v_n}} over {{u_n}}}} ight))

Theo b), ta có (lim {{{u_n}} over {{v_n}}} = 0). Vì (lim {u_n} =  + infty ) và (lim left( {1 + {{{v_n}} over {{u_n}}}} ight) = 1 > 0) nên (lim left( {{u_n} + {v_n}} ight) =  + infty )

Nhận xét. Tương tự, có thể chứng minh được rằng

a) Nếu dãy số (left( {{u_n}} ight)) bị chặn (tức là tồn tại một số dương M sao cho (left| {{u_n}} ight| le M) với mọi n) và (lim left| {{u_n}} ight| =  + infty ) thì (lim {{{u_n}} over {{v_n}}} = 0)

b) Nếu (lim {u_n} =  + infty )(hay ( - infty )) và (left( {{v_n}} ight)) là một dãy số bị chặn thì

                        (lim left( {{u_n} + {v_n}} ight) =  + infty ) (hay ( - infty ))

Sachbaitap.com