Câu 4.20 trang 136 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng

a) Chứng minh rằng nếu dãy số (left( {{u_n}} ight)) không có giới hạn hữu hạn với mọi số (c e 0,) dãy (left( {c{u_n}} ight)) cũng không có giới hạn hữu hạn

b) Cho hai dãy số (left( {{u_n}} ight)) và (left( {{v_n}} ight)) không có giới hạn hữu hạn. Có thể kết luận rằng dãy số (left( {{u_n} + {v_n}} ight)) có giới hạn hữu hạn không ?

Giải

a) Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

b) Dãy (left( {{u_n} + {v_n}} ight)) có thể có giới hạn hoặc không có giới hạn hữu hạn. Chẳng hạn hai dãy  số (left( {{u_n}} ight)) và (left( {{v_n}} ight)) với ({u_n} = {left( { - 1} ight)^n}) và ({v_n} = {left( { - 1} ight)^{n + 1}}) đều không có giới hạn hữu hạn, nhưng dãy số (left( {{u_n} + {v_n}} ight)) là dãy số có giới hạn hữu hạn (({u_n} + {v_n} = 0) với mọi n)

Nếu (left( {{u_n}} ight)) là một dãy số không có giới hạn hữu hạn thì dãy số (left( {{u_n} + {v_n}} ight) = left( {2{u_n}} ight)) không có giới hạn hữu hạn.

Sachbaitap.com