Câu 4.11 trang 135 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số xác định bởi

Cho dãy số (left( {{u_n}} ight)) xác định bởi

(left{ matrix{
{u_1} = 10 hfill cr
{u_{n + 1}} = sqrt {{u_n}} hfill cr} ight.)

Chứng minh rằng:

a) ({u_n} > 1) với mọi n

b) ({u_{n + 1}} - 1 < {{{u_n} - 1} over 2}) với mọi n

c) Tìm (lim {u_n})

Giải

a) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

b) ({u_{n + 1}} - 1 < sqrt {{u_n}}  - 1 = {{{u_n} - 1} over {sqrt {{u_n}}  + 1}} le {{{u_n} - 1} over 2}) với mọi n vì (sqrt {{u_n}}  > 1)

c) Đặt ({v_n} = {u_n} - 1,) ta có

                         (0 < {v_{n + 1}} le {1 over 2}{v_n}) với mọi n

Do đó              ({v_2} le {1 over 2}{v_1});   ({v_3} le {1 over 2}{v_2} le {left( {{1 over 2}} ight)^2}{v_1})

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được

                        (0 < {v_n} le {left( {{1 over 2}} ight)^{n - 1}}{v_1} = 9{left( {{1 over 2}} ight)^{n - 1}})

Vì (lim {left( {{1 over 2}} ight)^{n - 1}} = 0) nên từ đó suy ra (lim {v_n} = 0)

Vậy ({{mathop{ m limu} olimits} _n} = 1)

Sachbaitap.com