Câu 4.12 trang 135 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số xác định bởi

Cho dãy số (left( {{u_n}} ight)) xác định bởi

(left{ matrix{
{u_1} = - 5 hfill cr
{u_{n + 1}} = {2 over 3}{u_n} - 6 hfill cr} ight.)

Gọi (left( {{v_n}} ight)) là dãy số xác định bởi ({v_n} = {u_n} + 18)

a) Chứng minh rằng (left( {{v_n}} ight)) là một cấp số nhân lùi vô hạn

b) Tính tổng của cấp số nhân (left( {{v_n}} ight)) và tìm (lim {u_n})

Giải

a) ({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + 18 = {2 over 3}{u_n} - 6 + 18 = {2 over 3}{u_n} + 12)

Thay ({u_n} = {v_n} - 18) vào đẳng thức trên, ta được

                        ({v_{n + 1}} = {2 over 3}left( {{v_n} - 18} ight) + 12 = {2 over 3}{v_n})

Vậy dãy số (left( {{v_n}} ight)) là một cấp số nhân với công bội (q = {2 over 3})

b) Tổng của cấp số nhân (left( {{v_n}} ight)) là

                        (S = {{{v_1}} over {1 - q}} = {{13} over {1 - {2 over 3}}} = 39)

Vì (lim {v_n} = 0) nên ({{mathop{ m limu} olimits} _n} =  - 18)

Sachbaitap.com