Câu 36 trang 212 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Cho hàm số...

Cho hàm số (fleft( x ight) = 2{cos ^2}left( {4x – 1} ight)). Chứng minh rằng với mọi x ta có (left| {f’left( x ight)} ight| le 8.) Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.

Giải:

Với mọi (x inmathbb R), ta có:

(f’left( x ight) = 2.2cos left( {4x – 1} ight).left[ { – sin left( {4x – 1} ight)} ight]4 =  – 8sin 2left( {4x – 1} ight))

Suy ra: (left| {f’left( x ight)} ight| = 8left| {sin 2left( {4x – 1} ight)} ight| le 8)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

(eqalign{  & sin 2left( {4x – 1} ight) =  pm 1  cr  &  Leftrightarrow 2left( {4x – 1} ight) = {pi  over 2} + kpi   cr  &  Leftrightarrow x = {pi  over 16} + {{kpi } over 8} + {1 over 4}  cr  &  Leftrightarrow x = {1 over {16}}left( {pi  + 4 + k2pi } ight),,left( {k inmathbb Z} ight) cr} )