Câu 3.7 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho số nguyên

Cho số nguyên (n ge 2) và cho số thực ({a_1},{a_2},...,{a_n}) thuộc khoảng (left( {0;1} ight)). Chứng minh rằng

(left( {1 - {a_1}} ight)left( {1 - {a_2}} ight)...left( {1 - {a_n}} ight) > 1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_n})

Giải

Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp

Kí hiệu bất đẳng thức cần chứng minh theo yêu cầu của đề bài bởi (1)

Với (n = 2,) xét hai số thực túy ý ({a_1},{a_2} in left( {0;1} ight)) ta có

(left( {1 - {a_1}} ight)left( {1 - {a_2}} ight) )

(= 1 - {a_1} - {a_2} + {a_1}{a_2} > 1 - {a_1} - {a_2}) (do ({a_1},{a_2} > 0) )

Như thế, (1) đúng khi (n = 2)

Giả sử đã có (1) đúng khi (n = k,k in N^*) và (k ge 2,)

Xét (k + 1) số thực tùy ý ({a_1},{a_2},...,{a_k},{a_{k + 1}}) thuộc khoảng (left( {0;1} ight))

Vì k số ({a_1},{a_2},...,{a_k}) thuộc khoảng (left( {0;1} ight)) nên theo giả thiết quy nạp ta có

(left( {1 - {a_1}} ight)left( {1 - {a_2}} ight)...left( {1 - {a_k}} ight) > 1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k})

Từ đó, vì (1 - {a_{k + 1}} > 0,) suy ra

(left( {1 - {a_1}} ight)left( {1 - {a_2}} ight)...left( {1 - {a_k}} ight)left( {1 - {a_{k + 1}}} ight) >)

(left( {1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k}} ight)left( {1 - {a_{k + 1}}} ight))                 (2)

Lại có

(eqalign{
& left( {1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k}} ight)left( {1 - {a_{k + 1}}} ight) cr
& = 1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k} - {a_{k + 1}} cr&+ left( {1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k}} ight){a_{k + 1}} cr
& > 1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k} - {a_{k + 1}},,,,,,,,,,,,,,,(3) cr} )

Từ (2) và (3) ta được

(left( {1 - {a_1}} ight)left( {1 - {a_2}} ight)...left( {1 - {a_k}} ight)left( {1 - {a_{k + 1}}} ight) > )

(1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k} - {a_{k + 1}})

Như vậy (1) cũng đúng khi (n = k + 1)

Từ các chứng minh trên suy ra có điều cần chứng minh theo yêu cầu của để bài.

zaidap.com