Câu 3.69 trang 96 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số

Cho dãy số (({u_n})) với ({u_n} = cos (3n + 1){pi  over 6}.)

a) Chứng minh rằng ({u_n} = {u_{n + 4}}) với mọi (n ge 1.)

b) Hãy tính tổng 27 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Giải

a) Ta có

( {u_{n + 4}} = cos left( {3left( {n + 4} ight) + 1} ight){pi  over 6} )

(= cos left( {left( {3n + 1} ight){pi  over 6} + 2pi } ight) = cos left( {3n + 1} ight){pi  over 6} = {u_n})  (forall n ge 1.)

b) Kí hiệu S là tổng 27 số hạng đầu tiên của dãy số (({u_n})). Từ kết quả phần a) , ta được

(S = 6left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4}} ight) + {u_1} + {u_2} + {u_3}.,,,,,,,,,,,,(1))

Bằng cách tính trực tiếp, ta có: ({u_1} =  - {1 over 2},{u_2} =  - {{sqrt 3 } over 2},{u_3} = {1 over 2},{u_4} = {{sqrt 3 } over 2}.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 2 ight))

Từ (1) và (2) , ta được : (S =  - {{sqrt 3 } over 2})

Sachbaitap.com