Câu 3.55 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho cấp số nhân

Cho cấp số nhân (({u_n})) và cho các số nguyên dương m, k với (m < k.) Chứng minh rằng

                                                                                (left| {{u_k}} ight| = sqrt {{u_{k - m}}.{u_{k + m}}} .)

Áp dụng. Hãy tìm một cấp số nhân với công bội âm, có 7 số hạng, số hạng thứ hai bằng 2 và tích của số hạng đầu với số hạng cuối bằng 18.

Giải

Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân (({u_n})). Xét hai trường hợp sau :

( - ) Trường hợp 1 : (q = 0.)  Khi đó ({u_n} = 0)  với mọi (n ge 2.) Vì thế, hiển nhiên ta có điều cần chứng minh.

( - ) Trường hợp 2 : (q e 0.) Khi đó

(eqalign{
& {u_{k - m}} = {u_1}.{q^{k - m - 1}} = {{{u_1}.{q^{k - 1}}} over {{q^m}}} = {{{u_k}} over {{q^m}}}, cr
& {u_{k + m}} = {u_1}.{q^{k + m - 1}} = {u_1}.{q^{k - 1}}.{q^m} = {u_k}.{q^m}. cr} )

Từ đó suy ra ({u_{k - m}}.{u_{k + m}} = u_k^2) hay (left| {{u_k}} ight| = sqrt {{u_{k - m}}.{u_{k + m}}} )

Áp dụng. Với mỗi (n in left{ {1,2,3,4,5,6,7} ight},) kí hiệu ({u_n}) là số hạng thứ n của cấp số nhân cấn tìm. Theo giả thiết của bài ra, ta có ({u_3} = 2) và ({u_1}.{u_7} = 18.)

Vì cấp số nhân cần tìm có công bội âm và ({u_3} > 0) nên ({u_4} < 0). Do đó, áp dụng kết quả đã chứng minh ở trên cho (m = 3) và (k = 4,) ta được

         ({u_4} =  - sqrt {{u_1}.{u_7}}  =  - sqrt {18}  =  - 3sqrt 2 .)

Suy ra      (q = {{{u_4}} over {{u_3}}} =  - {{3sqrt 2 } over 2}.) Do đó

(eqalign{
& {u_2} = {{{u_3}} over q} = - {{2sqrt 2 } over 3},{u_1} = {{{u_2}} over q} = {4 over 9},cr&{u_5} = {u_4},q = 9,{u_6} = {u_5}.q = - {{27sqrt 2 } over 2}, cr
& {u_7} = {u_6}.q = {{81} over 2} cr} )

Vậy, cấp số nhân cần tìm là : ({4 over 9}, - {{2sqrt 2 } over 3},2, - 3sqrt 2 ,9, - {{27sqrt 2 } over 2},{{81} over 2}.)

zaidap.com