Câu 3.48 trang 93 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Xét dãy số

Xét dãy số (({u_n})) xác định bởi ({u_1} = a) và ({u_{n + 1}} = {{12} over {{u_n}}}) với mọi (n ge 1,) trong đó a là một số thực khác 0.

Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy số (({u_n})) là một cấp số nhân.

Giải

Từ giả thiết (a e 0) dễ dàng suy ra ({u_n} e 0) với mọi (n ge 1.)

Từ hệ thức xác định dãy số (({u_n})) suy ra tất cả các số hạng của dãy số đó có cùng một loại dấu.

Giả sử (({u_n})) là một cấp số nhân. Khi đó, tồn tại một hằng số (q > 0) sao cho

                      ({u_{n + 1}} = {u_n}.q) với mọi (n ge 1)     (1)

Từ (1) và hệ thức xác định dãy số (({u_n})) suy ra

                      (u_n^2 = {{12} over q}) với mọi (n ge 1)    (2)

Xét hai trường hợp sau:

- Trường hợp 1: (a > 0.) Khi đó, ta có ({u_n} > 0) với mọi (n ge 1.) Vì thế, từ (2) ta được

                                ({u_n} = {{2sqrt 3 } over {sqrt q }}) với mọi (n ge 1.)

Hay (({u_n})) là một dãy số không đổi. Do vậy, phải có ({u_2} = a) hay ({{12} over a} = a.) Dẫn tới (a = 2sqrt 3 )

- Trường hợp 2: (a < 0.) Khi đó, ta có ({u_n} < 0) với mọi (n ge 1.) Vì thế, từ (2) ta được

                                ({u_n} =  - {{2sqrt 3 } over {sqrt q }}) với mọi (n ge 1.)

Hay (({u_n})) là một dãy số không đổi. Do vậy, phải có ({u_2} = a) hay ({{12} over a} = a.) Dẫn tới (a =  - 2sqrt 3 )

Ngược lại:

- Với (a = 2sqrt 3 ) dễ dàng chứng minh được ({u_n} = 2sqrt 3 ) với mọi (n ge 1.) Do đó, dãy số (({u_n})) là một cấp số nhân với công bộ (q = 1)

- Với (a =  - 2sqrt 3 ) dễ dàng chứng minh được ({u_n} =  - 2sqrt 3 ) với mọi (n ge 1.) Do đó, dãy số (({u_n})) là một cấp số nhân với công bộ (q = 1)

Tóm lại, tất cả các giá trị a cần tìm là (a = 2sqrt 3 ) và (a =  - 2sqrt 3 ).

zaidap.com