Câu 3.25 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số

Cho dãy số (({u_n})) xác định bởi

({u_1} = 1) và ({u_{n + 1}} = {u_n} + 7) với mọi (n ge 1.)

a) Hãy tính ({u_2},{u_4}) và ({u_6}.)

b) Chứng minh rằng ({u_n} = 7n - 6)  với mọi (n ge 1.)

Giải

a) 

(eqalign{
& {u_2} = 8 cr
& {u_4} = 22 cr
& {u_6} = 36 cr} )

b) Ta sẽ chứng minh

({u_n} = 7n - 6,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1))

với mọi (n ge 1,) bằng phương pháp quy nạp.

Với (n = 1,)  ta có ({u_1} = 1 = 7.1 - 6.) Như vậy, (1) đúng khi  (n = 1.)

Giả sử đã có (1) đúng khi (n = k,k in N^*,) ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi (n = k = 1.)

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (({u_n})) và giả thiết quy nạp ta có

({u_{k + 1}} = {u_k} + 7 = 7.k- 6 + 7 = 7.(k + 1) - 6)

Từ các chứng minh trên suy ra ta có (1) đúng với mọi (n ge 1.)

zaidap.com