Câu 3.23 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số

Cho dãy số (({u_n}),)với ({u_n} = sin (2n - 1){pi  over 3}.)

a) Chứng minh rằng ({u_n} = {u_{n + 3}})  với mọi (n ge 1.)

b) Hãy tính tổng 17 số hàng đầu tiên của dãy số đã cho.

Giải

a) ({u_{n + 3}} = sin left[ {left( {2left( {n + 3} ight) - 1} ight){pi  over 3}} ight] )

              (= sin left[ {left( {2n - 1} ight){pi  over 3} + 2pi } ight])

              (= sin left[ {left( {2n - 1} ight){pi  over 3}} ight] = {u_n})

b) Từ kết quả của phần a), ta có

(eqalign{
& {u_1} = {u_4} = {u_7} = {u_{10}} = {u_{13}} = {u_{16}} cr
& {u_2} = {u_5} = {u_8} = {u_{11}} = {u_{14}} = {u_{17}} cr
& {u_3} = {u_6} = {u_9} = {u_{12}} = {u_{15}} cr} )

Từ đó, kí hiệu ({S_{17}}) là tổng cần tính, ta có

({S_{17}} = 5left( {{u_1} + {u_2} + {u_3}} ight) + {u_1} + {u_2})                          (1)

Bằng cách tình trực tiếp, ta có ({u_1} = {{sqrt 3 } over 2},{u_2} = 0) và ({u_3} =  - {{sqrt 3 } over 2}.) Do đó, từ (1) ta được

                                ({S_{17}} = 5left( {{{sqrt 3 } over 2} + 0 - {{sqrt 3 } over 2}} ight) + {{sqrt 3 } over 2} + 0 = {{sqrt 3 } over 2})

zaidap.com