Câu 23 trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao , Tính:...

Tính:

({({{4i} over {1 + isqrt 3 }})^6};,,{{{{(sqrt 3  + i)}^5}} over {{{(1 – isqrt 3 )}^{11}}}})

Giải

a) Ta có:

(eqalign{
& {{4i} over {1 + isqrt 3 }} = {{4i(1 – isqrt 3 )} over 4} = sqrt 3 + i cr
& = 2({{sqrt 3 } over 2} + {1 over 2}i) = 2(cos{pi over 6} + { m{i}}sin {pi over 6}) cr} ) 

Suy ra: ({({{4i} over {1 + isqrt 3 }})^6} = {2^6}(cospi  + ,isin pi ) =  – {2^6})

b) Ta có:

(eqalign{
& {(sqrt 3 + i)^5} = {2^5}(cos{{5pi } over 6} + { m{i}}sin {{5pi } over 6}),,,,,,,,,,,,,,(1) cr
& 1 – isqrt 3 = 2({1 over 2} – {{sqrt 3 } over 2}i) cr
& = 2(cos( – {pi over 3}) + { m{i}}sin ( – {pi over 3})) cr
& Rightarrow {(1 – isqrt 3 )^{11}} = {2^{11}}{ m{[cos(}}{{ – 11pi } over 3}) + { m{isin(}}{{ – 11pi } over 3}){ m{]}},,,,,,,,,(2) cr} ) 

Từ (1) và (2) suy ra:

(eqalign{
& {{{{(sqrt 3 + i)}^5}} over {{{(1 – isqrt 3 )}^{11}}}} = {1 over {{2^6}}}{ m{[cos(}}{{5pi } over 6} + {{11pi } over 3}) + { m{i}}sin { m{(}}{{5pi } over 6} + {{11pi } over 3}){ m{]}} cr
& = {1 over {{2^6}}}(cos{{9pi } over 2} + { m{i}}sin {{9pi } over 2}) = {i over {64}} cr} )