Câu 7 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao, Hãy tính:...

a) Chứng minh rằng nếu a và b là hai số dương thỏa mãn a² + b² = 7ab thì          

({log _7}{{a + b} over 3} = {1 over 2}(log_7a + log _7b))

b) Biết a và b là hai số dương, a ≠ 1 sao cho (log _ab = sqrt 3 )

Hãy tính ({log _{asqrt b }}{{ oot 3 of a } over {sqrt {{b^3}} }})

Giải

a) Ta có:

(eqalign{
& {log _7}{{a + b} over 3} = {1 over 2}(log_7a + log _7b) cr
& Leftrightarrow 2lo{g_7}{{a + b} over 3} = {log _7}(ab) cr
& Leftrightarrow {({{a + b} over 3})^2} = ab cr
& Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} = 9ab Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 7ab,,(đpcm) cr} )

b) Ta có:

(eqalign{
& {log _{asqrt b }}{{ oot 3 of a } over {sqrt {{b^3}} }} = {{{{log }_a}{{ oot 3 of a } over {sqrt {{b^3}} }}} over {{{log }_a}asqrt b }} = {{{{log }_a} oot 3 of a – {{log }_a}sqrt {{b^3}} } over {{{log }_a}a + {{log }_a}sqrt b }} cr
& = {{{1 over 3} – {3 over 2}{{log }_a}b} over {1 + {1 over 2}{{log }_a}b}} = {{{1 over 3} – {3 over 2}sqrt 3 } over {1 + {1 over 2}sqrt 3 }} cr
& = {{2 – 9sqrt 3 } over {6 + 3sqrt 3 }} cr} )