Câu 14 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao, Tính các tính phân sau...

Tính các tính phân sau

a) (intlimits_0^1 {{{dx} over {{x^2} + 1}}} )

b) (intlimits_0^1 {{{dx} over {{x^2} + x + 1}}} )

c) (intlimits_0^1 {{x^2}{e^x}dx} )

Giải

a) Đặt (x = an t Rightarrow dx = {1 over {{{cos }^2}t}}dt)

 (intlimits_0^1 {{{dx} over {{x^2} + 1}}}  = intlimits_0^{{pi  over 4}} {{{dt} over {{{cos }^2}t({{ an }^2}t + 1)}}}  = intlimits_0^{{pi  over 4}} {dt}  = {pi  over 4})

b) Ta có:

(I = intlimits_0^1 {{{dx} over {{x^2} + x + 1}}}  = intlimits_0^1 {{{dx} over {{{(x + {1 over 2})}^2} + {{({{sqrt 3 } over 2})}^2}}}} )

Đặt (x + {1 over 2} = {{sqrt 3 } over 2} an t Rightarrow dx = {{sqrt 3 } over 2}(1 + { an ^2}t)dt)

(I = intlimits_{{pi  over 6}}^{{pi  over 3}} {{{{{sqrt 3 } over 2}dt} over {{3 over 4}}}}  = {4 over 3}.{{sqrt 3 } over 2}.{pi  over 6} = {{sqrt 3 pi } over 9}) 

c) Đặt 

(left{ matrix{
u = {x^2} hfill cr
dv = {e^x}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = 2xdx hfill cr
v = {e^x} hfill cr} ight.)

Do đó: (intlimits_0^1 {{x^2}{e^x}dx}  = {x^2}{e^x}|_0^1 – 2intlimits_0^1 {x{e^x}dx = e – 2intlimits_0^1 {x{e^x}dx,,,,,,,(*)} } )

Đặt

(left{ matrix{
u = x hfill cr
dv = {e^x}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = {e^x} hfill cr} ight.)

Suy ra:

(intlimits_0^1 {x{e^x}dx = x{e^x}|_0^1}  – intlimits_0^1 {{e^x}dx}  = e – {e^x}|_0^1 = 1) 

Từ (*) suy ra:  (intlimits_0^1 {{x^2}{e^x}dx}  = e – 2)

Baitapsgk.com>