Bài 23 trang 9 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1

Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A₁B₁C₁D₁có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A₁D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5.

a)Hạ (AK ot {A_1}Dleft( {K in {A_1}D} ight)). Chứng minh rằng AK=2.

b)Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A₁B₁C₁D₁.

Giải

(H.6)

a)

(eqalign{  & AB//{A_1}{B_1} Rightarrow AB// left( {{A_1}{B_1}D} ight)  cr  &  Rightarrow {d_{left( {A,left( {{A_1}{B_1}D} ight)} ight)}} = {d_{left( {AB,{A_1}D} ight)}}.  cr  &  cr} )

Ta có :

(eqalign{  & {A_1}{B_1} ot left( {A{A_1}{D_1}D} ight)  cr  &  Rightarrow {A_1}{B_1} ot AK. cr} )

Mặt khác ({A_1}D ot AK,) suy ra (AK ot left( {{A_1}{B_1}D} ight))

Vậy (AK = dleft( {A,left( {{A_1}{B_1}D} ight)} ight) = dleft( {AB,{A_1}D} ight) = 2)

b) Xét tam giác vuông ({A_1}AD), ta có :

(A{K^2} = {A_1}K.KD.)

Đặt A₁K = x (4 = xleft( {5 - x} ight) Rightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0 Rightarrow left[ matrix{  x = 1 hfill cr  x = 4 hfill cr}  ight.)

Với x=1, (AD = sqrt {A{K^2} + K{D^2}}  = 2sqrt 5 )

({ m{A}}{{ m{A}}_1} = sqrt {{A_1}{D^2} - A{D^2}}  = sqrt 5 )

Khi đó ({V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = 20sqrt 5 )

Với x=4, tương tự ta có :({V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = 10sqrt 5 ).

Sachbaitap.com